다음을 풀어보세요: {l}{2x+y=k}{5x+2y=1-k}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = k } \\ { 5 x + 2 y = 1 - k } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1-3k$$

$$y=7k-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+y=k$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x=-y+k$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+k\right)$$

\frac{1}{2}에 -y+k을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}$$

다른 수식 5x+2y=1-k에서 \frac{-y+k}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}\right)+2y=1-k$$

5에 \frac{-y+k}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{5k}{2}+2y=1-k$$

-\frac{5y}{2}을(를) 2y에 추가합니다.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5k}{2}=1-k$$

수식의 양쪽에서 \frac{5k}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{7k}{2}+1$$

양쪽에 -2을(를) 곱합니다.

$$y=7k-2$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{k}{2}에서 y을(를) -2+7k(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\left(7k-2\right)+\frac{k}{2}$$

-\frac{1}{2}에 -2+7k을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{7k}{2}+1+\frac{k}{2}$$

\frac{k}{2}을(를) 1-\frac{7k}{2}에 추가합니다.

$$x=1-3k$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1-k\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2k+1-k\\5k-2\left(1-k\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1-3k\\7k-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1-3k,y=7k-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+y=k,5x+2y=1-k$$

2x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$5\times 2x+5y=5k,2\times 5x+2\times 2y=2\left(1-k\right)$$

단순화합니다.

$$10x+5y=5k,10x+4y=2-2k$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10x+5y=5k에서 10x+4y=2-2k을(를) 뺍니다.

$$10x-10x+5y-4y=5k+2k-2$$

10x을(를) -10x에 추가합니다. 10x 및 -10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5y-4y=5k+2k-2$$

5y을(를) -4y에 추가합니다.

$$y=5k+2k-2$$

5k을(를) -2+2k에 추가합니다.

$$y=7k-2$$

5x+2y=1-k에서 y을(를) -2+7k(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+2\left(7k-2\right)=1-k$$

2에 -2+7k을(를) 곱합니다.

$$5x+14k-4=1-k$$

수식의 양쪽에서 -4+14k을(를) 뺍니다.

$$5x=5-15k$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=1-3k$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1-3k,y=7k-2$$