다음을 풀어보세요: {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+y=6$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$2x=-y+6$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

\frac{1}{2}에 -y+6을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

다른 수식 4x-y=7에서 -\frac{y}{2}+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

4에 -\frac{y}{2}+3을(를) 곱합니다.

$$-2y+12-y=7$$

-2y을(를) -y에 추가합니다.

$$-3y+12=7$$

수식의 양쪽에서 12을(를) 뺍니다.

$$-3y=-5$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{5}{3}$$

x=-\frac{1}{2}y+3에서 y을(를) \frac{5}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{2}에 \frac{5}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

3을(를) -\frac{5}{6}에 추가합니다.

$$x=\frac{13}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

2x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

단순화합니다.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x+4y=24에서 8x-2y=14을(를) 뺍니다.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4y+2y=24-14$$

4y을(를) 2y에 추가합니다.

$$6y=24-14$$

24을(를) -14에 추가합니다.

$$6y=10$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{5}{3}$$

4x-y=7에서 y을(를) \frac{5}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

수식의 양쪽에 \frac{5}{3}을(를) 더합니다.

$$4x=\frac{26}{3}$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{13}{6}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$