다음을 풀어보세요: {l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+8y=16$$

수식의 양쪽에서 8y을(를) 뺍니다.

$$2x=-8y+16$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

\frac{1}{2}에 -8y+16을(를) 곱합니다.

$$x=-4y+8$$

다른 수식 -x+2y+11=0에서 -4y+8을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

-1에 -4y+8을(를) 곱합니다.

$$4y-8+2y+11=0$$

4y을(를) 2y에 추가합니다.

$$6y-8+11=0$$

-8을(를) 11에 추가합니다.

$$6y+3=0$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$6y=-3$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{2}$$

x=-4y+8에서 y을(를) -\frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

-4에 -\frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$x=2+8$$

8을(를) 2에 추가합니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

2x 및 -x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

단순화합니다.

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -2x-8y=-16에서 -2x+4y+22=0을(를) 뺍니다.

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

-2x을(를) 2x에 추가합니다. -2x 및 2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-8y-4y-22=-16$$

-8y을(를) -4y에 추가합니다.

$$-12y-22=-16$$

수식의 양쪽에 22을(를) 더합니다.

$$-12y=6$$

양쪽을 -12(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{1}{2}$$

-x+2y+11=0에서 y을(를) -\frac{1}{2}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

2에 -\frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$-x-1+11=0$$

-1을(를) 11에 추가합니다.

$$-x+10=0$$

수식의 양쪽에서 10을(를) 뺍니다.

$$-x=-10$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$