다음을 풀어보세요: {l}{2x+5y=13}{x+7y=-17}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 13 } \\ { x + 7 y = - 17 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{176}{9} = 19\frac{5}{9} \approx 19.555555556$$

$$y = -\frac{47}{9} = -5\frac{2}{9} \approx -5.222222222$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+5y=13$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$2x=-5y+13$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+13\right)$$

\frac{1}{2}에 -5y+13을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}$$

다른 수식 x+7y=-17에서 \frac{-5y+13}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}+7y=-17$$

-\frac{5y}{2}을(를) 7y에 추가합니다.

$$\frac{9}{2}y+\frac{13}{2}=-17$$

수식의 양쪽에서 \frac{13}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{9}{2}y=-\frac{47}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{9}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{47}{9}$$

x=-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}에서 y을(를) -\frac{47}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-\frac{47}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{2}에 -\frac{47}{9}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{235}{18}+\frac{13}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{13}{2}을(를) \frac{235}{18}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{176}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-5}&-\frac{5}{2\times 7-5}\\-\frac{1}{2\times 7-5}&\frac{2}{2\times 7-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}&-\frac{5}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-17\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{9}\times 13-\frac{5}{9}\left(-17\right)\\-\frac{1}{9}\times 13+\frac{2}{9}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{176}{9}\\-\frac{47}{9}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+5y=13,x+7y=-17$$

2x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$2x+5y=13,2x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

단순화합니다.

$$2x+5y=13,2x+14y=-34$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x+5y=13에서 2x+14y=-34을(를) 뺍니다.

$$2x-2x+5y-14y=13+34$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5y-14y=13+34$$

5y을(를) -14y에 추가합니다.

$$-9y=13+34$$

13을(를) 34에 추가합니다.

$$-9y=47$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{47}{9}$$

x+7y=-17에서 y을(를) -\frac{47}{9}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+7\left(-\frac{47}{9}\right)=-17$$

7에 -\frac{47}{9}을(를) 곱합니다.

$$x-\frac{329}{9}=-17$$

수식의 양쪽에 \frac{329}{9}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{176}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{176}{9},y=-\frac{47}{9}$$