다음을 풀어보세요: {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+4y=2060$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$2x=-4y+2060$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

\frac{1}{2}에 -4y+2060을(를) 곱합니다.

$$x=-2y+1030$$

다른 수식 5x+7y=1640에서 -2y+1030을(를) x(으)로 치환합니다.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

5에 -2y+1030을(를) 곱합니다.

$$-10y+5150+7y=1640$$

-10y을(를) 7y에 추가합니다.

$$-3y+5150=1640$$

수식의 양쪽에서 5150을(를) 뺍니다.

$$-3y=-3510$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$y=1170$$

x=-2y+1030에서 y을(를) 1170(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-2\times 1170+1030$$

-2에 1170을(를) 곱합니다.

$$x=-2340+1030$$

1030을(를) -2340에 추가합니다.

$$x=-1310$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1310,y=1170$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-1310,y=1170$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

2x 및 5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

단순화합니다.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 10x+20y=10300에서 10x+14y=3280을(를) 뺍니다.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

10x을(를) -10x에 추가합니다. 10x 및 -10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$20y-14y=10300-3280$$

20y을(를) -14y에 추가합니다.

$$6y=10300-3280$$

10300을(를) -3280에 추가합니다.

$$6y=7020$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=1170$$

5x+7y=1640에서 y을(를) 1170(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$5x+7\times 1170=1640$$

7에 1170을(를) 곱합니다.

$$5x+8190=1640$$

수식의 양쪽에서 8190을(를) 뺍니다.

$$5x=-6550$$

양쪽을 5(으)로 나눕니다.

$$x=-1310$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1310,y=1170$$