다음을 풀어보세요: {l}{2x+3y=8}{4x+5y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 8 } \\ { 4 x + 5 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+3y=8,4x+5y=12$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+3y=8$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$2x=-3y+8$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

\frac{1}{2}에 -3y+8을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

다른 수식 4x+5y=12에서 -\frac{3y}{2}+4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+5y=12$$

4에 -\frac{3y}{2}+4을(를) 곱합니다.

$$-6y+16+5y=12$$

-6y을(를) 5y에 추가합니다.

$$-y+16=12$$

수식의 양쪽에서 16을(를) 뺍니다.

$$-y=-4$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

x=-\frac{3}{2}y+4에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

-\frac{3}{2}에 4을(를) 곱합니다.

$$x=-6+4$$

4을(를) -6에 추가합니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+3y=8,4x+5y=12$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\12\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 8+\frac{3}{2}\times 12\\2\times 8-12\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2,y=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+3y=8,4x+5y=12$$

2x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 8,2\times 4x+2\times 5y=2\times 12$$

단순화합니다.

$$8x+12y=32,8x+10y=24$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 8x+12y=32에서 8x+10y=24을(를) 뺍니다.

$$8x-8x+12y-10y=32-24$$

8x을(를) -8x에 추가합니다. 8x 및 -8x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y-10y=32-24$$

12y을(를) -10y에 추가합니다.

$$2y=32-24$$

32을(를) -24에 추가합니다.

$$2y=8$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

4x+5y=12에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x+5\times 4=12$$

5에 4을(를) 곱합니다.

$$4x+20=12$$

수식의 양쪽에서 20을(를) 뺍니다.

$$4x=-8$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=4$$