다음을 풀어보세요: {l}{2x+3y=1}{3x-4y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x - 4 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{13}{17}\approx 0.764705882$$

$$y=-\frac{3}{17}\approx -0.176470588$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+3y=1$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$2x=-3y+1$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{2}에 -3y+1을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

다른 수식 3x-4y=3에서 \frac{-3y+1}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)-4y=3$$

3에 \frac{-3y+1}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{3}{2}-4y=3$$

-\frac{9y}{2}을(를) -4y에 추가합니다.

$$-\frac{17}{2}y+\frac{3}{2}=3$$

수식의 양쪽에서 \frac{3}{2}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{17}{2}y=\frac{3}{2}$$

수식의 양쪽을 -\frac{17}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{3}{17}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}에서 y을(를) -\frac{3}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{17}\right)+\frac{1}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{2}에 -\frac{3}{17}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{9}{34}+\frac{1}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{2}을(를) \frac{9}{34}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{13}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}+\frac{3}{17}\times 3\\\frac{3}{17}-\frac{2}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{17}\\-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+3y=1,3x-4y=3$$

2x 및 3x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$3\times 2x+3\times 3y=3,2\times 3x+2\left(-4\right)y=2\times 3$$

단순화합니다.

$$6x+9y=3,6x-8y=6$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 6x+9y=3에서 6x-8y=6을(를) 뺍니다.

$$6x-6x+9y+8y=3-6$$

6x을(를) -6x에 추가합니다. 6x 및 -6x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$9y+8y=3-6$$

9y을(를) 8y에 추가합니다.

$$17y=3-6$$

3을(를) -6에 추가합니다.

$$17y=-3$$

양쪽을 17(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{3}{17}$$

3x-4y=3에서 y을(를) -\frac{3}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3x-4\left(-\frac{3}{17}\right)=3$$

-4에 -\frac{3}{17}을(를) 곱합니다.

$$3x+\frac{12}{17}=3$$

수식의 양쪽에서 \frac{12}{17}을(를) 뺍니다.

$$3x=\frac{39}{17}$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{13}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{13}{17},y=-\frac{3}{17}$$