다음을 풀어보세요: {l}{2x+2y=10}{1/2x+3/4y=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-65$$

$$y=70$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+2y=10$$

수식의 양쪽에서 2y을(를) 뺍니다.

$$2x=-2y+10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)$$

\frac{1}{2}에 -2y+10을(를) 곱합니다.

$$x=-y+5$$

다른 수식 \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20에서 -y+5을(를) x(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20$$

\frac{1}{2}에 -y+5을(를) 곱합니다.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20$$

-\frac{y}{2}을(를) \frac{3y}{4}에 추가합니다.

$$\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}$$

양쪽에 4을(를) 곱합니다.

$$y=70$$

x=-y+5에서 y을(를) 70(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-70+5$$

5을(를) -70에 추가합니다.

$$x=-65$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-65,y=70$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-65,y=70$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20$$

2x 및 \frac{x}{2}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{2}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20$$

단순화합니다.

$$x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x+y=5에서 x+\frac{3}{2}y=40을(를) 뺍니다.

$$x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40$$

x을(를) -x에 추가합니다. x 및 -x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-\frac{3}{2}y=5-40$$

y을(를) -\frac{3y}{2}에 추가합니다.

$$-\frac{1}{2}y=5-40$$

5을(를) -40에 추가합니다.

$$-\frac{1}{2}y=-35$$

양쪽에 -2을(를) 곱합니다.

$$y=70$$

\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20에서 y을(를) 70(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20$$

\frac{3}{4}에 70을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20$$

수식의 양쪽에서 \frac{105}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}$$

양쪽에 2을(를) 곱합니다.

$$x=-65$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-65,y=70$$