다음을 풀어보세요: {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

m, n에 대한 해

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$2m+3n=22$$

수식의 양쪽에서 3n을(를) 뺍니다.

$$2m=-3n+22$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

\frac{1}{2}에 -3n+22을(를) 곱합니다.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

다른 수식 m-2n=6에서 -\frac{3n}{2}+11을(를) m(으)로 치환합니다.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

-\frac{3n}{2}을(를) -2n에 추가합니다.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

수식의 양쪽에서 11을(를) 뺍니다.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

수식의 양쪽을 -\frac{7}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$n=\frac{10}{7}$$

m=-\frac{3}{2}n+11에서 n을(를) \frac{10}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{2}에 \frac{10}{7}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

11을(를) -\frac{15}{7}에 추가합니다.

$$m=\frac{62}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

2m 및 m을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

단순화합니다.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2m+3n=22에서 2m-4n=12을(를) 뺍니다.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

2m을(를) -2m에 추가합니다. 2m 및 -2m이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$3n+4n=22-12$$

3n을(를) 4n에 추가합니다.

$$7n=22-12$$

22을(를) -12에 추가합니다.

$$7n=10$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$n=\frac{10}{7}$$

m-2n=6에서 n을(를) \frac{10}{7}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

-2에 \frac{10}{7}을(를) 곱합니다.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

수식의 양쪽에 \frac{20}{7}을(를) 더합니다.

$$m=\frac{62}{7}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$