다음을 풀어보세요: {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

m, n에 대한 해

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$2m+3n=1$$

수식의 양쪽에서 3n을(를) 뺍니다.

$$2m=-3n+1$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

\frac{1}{2}에 -3n+1을(를) 곱합니다.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

다른 수식 \frac{5}{3}m-2n=1에서 \frac{-3n+1}{2}을(를) m(으)로 치환합니다.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

\frac{5}{3}에 \frac{-3n+1}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

-\frac{5n}{2}을(를) -2n에 추가합니다.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{6}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

수식의 양쪽을 -\frac{9}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$n=-\frac{1}{27}$$

m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}에서 n을(를) -\frac{1}{27}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{2}에 -\frac{1}{27}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{2}을(를) \frac{1}{18}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$m=\frac{5}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

2m 및 \frac{5m}{3}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{5}{3}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

단순화합니다.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3}에서 \frac{10}{3}m-4n=2을(를) 뺍니다.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

\frac{10m}{3}을(를) -\frac{10m}{3}에 추가합니다. \frac{10m}{3} 및 -\frac{10m}{3}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

5n을(를) 4n에 추가합니다.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

\frac{5}{3}을(를) -2에 추가합니다.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

양쪽을 9(으)로 나눕니다.

$$n=-\frac{1}{27}$$

\frac{5}{3}m-2n=1에서 n을(를) -\frac{1}{27}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

-2에 -\frac{1}{27}을(를) 곱합니다.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

수식의 양쪽에서 \frac{2}{27}을(를) 뺍니다.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

수식의 양쪽을 \frac{5}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$m=\frac{5}{9}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$