다음을 풀어보세요: {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해 (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2ax+by=14$$

수식의 양쪽에서 by을(를) 뺍니다.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

양쪽을 2a(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a}에 -by+14을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

다른 수식 -2x+9y=-19에서 \frac{-by+14}{2a}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2에 \frac{-by+14}{2a}을(를) 곱합니다.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

\frac{by}{a}을(를) 9y에 추가합니다.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

수식의 양쪽에 \frac{14}{a}을(를) 더합니다.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

양쪽을 9+\frac{b}{a}(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}에서 y을(를) \frac{14-19a}{9a+b}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a}에 \frac{14-19a}{9a+b}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

\frac{7}{a}을(를) -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}에 추가합니다.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2a을(를) 곱합니다.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

단순화합니다.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28에서 \left(-4a\right)x+18ay=-38a을(를) 뺍니다.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-4ax을(를) 4ax에 추가합니다. -4ax 및 4ax이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-2by을(를) -18ay에 추가합니다.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

-28을(를) 38a에 추가합니다.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

양쪽을 -2b-18a(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19에서 y을(를) -\frac{-14+19a}{b+9a}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9에 -\frac{-14+19a}{b+9a}을(를) 곱합니다.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

수식의 양쪽에 \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a}을(를) 더합니다.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

x, y에 대한 해

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2ax+by=14$$

수식의 양쪽에서 by을(를) 뺍니다.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

양쪽을 2a(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

\frac{1}{2a}에 -by+14을(를) 곱합니다.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

다른 수식 -2x+9y=-19에서 \frac{-by+14}{2a}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

-2에 \frac{-by+14}{2a}을(를) 곱합니다.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

\frac{by}{a}을(를) 9y에 추가합니다.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

수식의 양쪽에 \frac{14}{a}을(를) 더합니다.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

양쪽을 9+\frac{b}{a}(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}에서 y을(를) \frac{14-19a}{9a+b}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b}{2a}에 \frac{14-19a}{9a+b}을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

\frac{7}{a}을(를) -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}에 추가합니다.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2a을(를) 곱합니다.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

단순화합니다.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28에서 \left(-4a\right)x+18ay=-38a을(를) 뺍니다.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-4ax을(를) 4ax에 추가합니다. -4ax 및 4ax이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-2by을(를) -18ay에 추가합니다.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

-28을(를) 38a에 추가합니다.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

양쪽을 -2b-18a(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19에서 y을(를) -\frac{-14+19a}{b+9a}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

9에 -\frac{-14+19a}{b+9a}을(를) 곱합니다.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

수식의 양쪽에 \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a}을(를) 더합니다.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$