다음을 풀어보세요: {l}{2a=3b}{7a+2b=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a = 3 b } \\ { 7 a + 2 b = 200 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=24$$

$$b=16$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3b을(를) 뺍니다.

$$2a-3b=0$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$2a-3b=0$$

수식의 양쪽에 3b을(를) 더합니다.

$$2a=3b$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{2}\times 3b$$

\frac{1}{2}에 3b을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{3}{2}b$$

다른 수식 7a+2b=200에서 \frac{3b}{2}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$7\times \frac{3}{2}b+2b=200$$

7에 \frac{3b}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{21}{2}b+2b=200$$

\frac{21b}{2}을(를) 2b에 추가합니다.

$$\frac{25}{2}b=200$$

수식의 양쪽을 \frac{25}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=16$$

a=\frac{3}{2}b에서 b을(를) 16(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=\frac{3}{2}\times 16$$

\frac{3}{2}에 16을(를) 곱합니다.

$$a=24$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=24,b=16$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3b을(를) 뺍니다.

$$2a-3b=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{7}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\200\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 200\\\frac{2}{25}\times 200\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\16\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=24,b=16$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 3b을(를) 뺍니다.

$$2a-3b=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2a-3b=0,7a+2b=200$$

2a 및 7a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$7\times 2a+7\left(-3\right)b=0,2\times 7a+2\times 2b=2\times 200$$

단순화합니다.

$$14a-21b=0,14a+4b=400$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 14a-21b=0에서 14a+4b=400을(를) 뺍니다.

$$14a-14a-21b-4b=-400$$

14a을(를) -14a에 추가합니다. 14a 및 -14a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-21b-4b=-400$$

-21b을(를) -4b에 추가합니다.

$$-25b=-400$$

양쪽을 -25(으)로 나눕니다.

$$b=16$$

7a+2b=200에서 b을(를) 16(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7a+2\times 16=200$$

2에 16을(를) 곱합니다.

$$7a+32=200$$

수식의 양쪽에서 32을(를) 뺍니다.

$$7a=168$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$a=24$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=24,b=16$$