다음을 풀어보세요: {l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=5$$

$$b=-2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$2a+3b=4$$

수식의 양쪽에서 3b을(를) 뺍니다.

$$2a=-3b+4$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

\frac{1}{2}에 -3b+4을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

다른 수식 -2a+3b=-16에서 -\frac{3b}{2}+2을(를) a(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

-2에 -\frac{3b}{2}+2을(를) 곱합니다.

$$3b-4+3b=-16$$

3b을(를) 3b에 추가합니다.

$$6b-4=-16$$

수식의 양쪽에 4을(를) 더합니다.

$$6b=-12$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$b=-2$$

a=-\frac{3}{2}b+2에서 b을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

-\frac{3}{2}에 -2을(를) 곱합니다.

$$a=3+2$$

2을(를) 3에 추가합니다.

$$a=5$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=5,b=-2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=5,b=-2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2a+3b=4에서 -2a+3b=-16을(를) 뺍니다.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

3b을(를) -3b에 추가합니다. 3b 및 -3b이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2a+2a=4+16$$

2a을(를) 2a에 추가합니다.

$$4a=4+16$$

4을(를) 16에 추가합니다.

$$4a=20$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$a=5$$

-2a+3b=-16에서 a을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 b에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2\times 5+3b=-16$$

-2에 5을(를) 곱합니다.

$$-10+3b=-16$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$3b=-6$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$b=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=5,b=-2$$