다음을 풀어보세요: {l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$2x+2y-x+y=3$$

2x과(와) -x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+2y+y=3$$

2y과(와) y을(를) 결합하여 3y(을)를 구합니다.

$$x+3y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -2에 x-y(을)를 곱합니다.

$$x+y-2x+2y=1$$

x과(와) -2x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+y+2y=1$$

y과(와) 2y을(를) 결합하여 3y(을)를 구합니다.

$$-x+3y=1$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$x+3y=3$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$x=-3y+3$$

다른 수식 -x+3y=1에서 -3y+3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

-1에 -3y+3을(를) 곱합니다.

$$3y-3+3y=1$$

3y을(를) 3y에 추가합니다.

$$6y-3=1$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$6y=4$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=-3y+3에서 y을(를) \frac{2}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

-3에 \frac{2}{3}을(를) 곱합니다.

$$x=-2+3$$

3을(를) -2에 추가합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$2x+2y-x+y=3$$

2x과(와) -x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+2y+y=3$$

2y과(와) y을(를) 결합하여 3y(을)를 구합니다.

$$x+3y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -2에 x-y(을)를 곱합니다.

$$x+y-2x+2y=1$$

x과(와) -2x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+y+2y=1$$

y과(와) 2y을(를) 결합하여 3y(을)를 구합니다.

$$-x+3y=1$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$2x+2y-x+y=3$$

2x과(와) -x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x+2y+y=3$$

2y과(와) y을(를) 결합하여 3y(을)를 구합니다.

$$x+3y=3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -2에 x-y(을)를 곱합니다.

$$x+y-2x+2y=1$$

x과(와) -2x을(를) 결합하여 -x(을)를 구합니다.

$$-x+y+2y=1$$

y과(와) 2y을(를) 결합하여 3y(을)를 구합니다.

$$-x+3y=1$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x+3y=3에서 -x+3y=1을(를) 뺍니다.

$$x+x+3y-3y=3-1$$

3y을(를) -3y에 추가합니다. 3y 및 -3y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$x+x=3-1$$

x을(를) x에 추가합니다.

$$2x=3-1$$

3을(를) -1에 추가합니다.

$$2x=2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=1$$

-x+3y=1에서 x을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-1+3y=1$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$3y=2$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{2}{3}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$