다음을 풀어보세요: {l}{2(x+y)+(x-y)=12}{x+7y=y-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) + ( x - y ) = 12 } \\ { x + 7 y = y - 10 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{82}{17} = 4\frac{14}{17} \approx 4.823529412$$

$$y = -\frac{42}{17} = -2\frac{8}{17} \approx -2.470588235$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y+x-y=12$$

2x과(와) x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x+2y-y=12$$

2y과(와) -y을(를) 결합하여 y(을)를 구합니다.

$$3x+y=12$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x+7y-y=-10$$

7y과(와) -y을(를) 결합하여 6y(을)를 구합니다.

$$x+6y=-10$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$3x+y=12,x+6y=-10$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$3x+y=12$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$3x=-y+12$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+12\right)$$

\frac{1}{3}에 -y+12을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{3}y+4$$

다른 수식 x+6y=-10에서 -\frac{y}{3}+4을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{1}{3}y+4+6y=-10$$

-\frac{y}{3}을(를) 6y에 추가합니다.

$$\frac{17}{3}y+4=-10$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$\frac{17}{3}y=-14$$

수식의 양쪽을 \frac{17}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-\frac{42}{17}$$

x=-\frac{1}{3}y+4에서 y을(를) -\frac{42}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{42}{17}\right)+4$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{1}{3}에 -\frac{42}{17}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{14}{17}+4$$

4을(를) \frac{14}{17}에 추가합니다.

$$x=\frac{82}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{82}{17},y=-\frac{42}{17}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y+x-y=12$$

2x과(와) x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x+2y-y=12$$

2y과(와) -y을(를) 결합하여 y(을)를 구합니다.

$$3x+y=12$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x+7y-y=-10$$

7y과(와) -y을(를) 결합하여 6y(을)를 구합니다.

$$x+6y=-10$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$3x+y=12,x+6y=-10$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-1}&-\frac{1}{3\times 6-1}\\-\frac{1}{3\times 6-1}&\frac{3}{3\times 6-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-10\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{17}\times 12-\frac{1}{17}\left(-10\right)\\-\frac{1}{17}\times 12+\frac{3}{17}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{17}\\-\frac{42}{17}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{82}{17},y=-\frac{42}{17}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 2에 x+y(을)를 곱합니다.

$$2x+2y+x-y=12$$

2x과(와) x을(를) 결합하여 3x(을)를 구합니다.

$$3x+2y-y=12$$

2y과(와) -y을(를) 결합하여 y(을)를 구합니다.

$$3x+y=12$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$x+7y-y=-10$$

7y과(와) -y을(를) 결합하여 6y(을)를 구합니다.

$$x+6y=-10$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$3x+y=12,x+6y=-10$$

3x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱합니다.

$$3x+y=12,3x+3\times 6y=3\left(-10\right)$$

단순화합니다.

$$3x+y=12,3x+18y=-30$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 3x+y=12에서 3x+18y=-30을(를) 뺍니다.

$$3x-3x+y-18y=12+30$$

3x을(를) -3x에 추가합니다. 3x 및 -3x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$y-18y=12+30$$

y을(를) -18y에 추가합니다.

$$-17y=12+30$$

12을(를) 30에 추가합니다.

$$-17y=42$$

양쪽을 -17(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{42}{17}$$

x+6y=-10에서 y을(를) -\frac{42}{17}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+6\left(-\frac{42}{17}\right)=-10$$

6에 -\frac{42}{17}을(를) 곱합니다.

$$x-\frac{252}{17}=-10$$

수식의 양쪽에 \frac{252}{17}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{82}{17}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{82}{17},y=-\frac{42}{17}$$