다음을 풀어보세요: {l}{2(2x-3)+3(y+4)=7}{4(x+2)-5(2-y)=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 2 x - 3 ) + 3 ( y + 4 ) = 7 } \\ { 4 ( x + 2 ) - 5 ( 2 - y ) = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=1$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

2에 2x-3을(를) 곱합니다.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

3에 y+4을(를) 곱합니다.

$$4x-6+3y+12=7$$

-6을(를) 12에 추가합니다.

$$4x+3y+6=7$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$4x+3y=1$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$4x=-3y+1$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{4}에 -3y+1을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

다른 수식 4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3에서 \frac{-3y+1}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

\frac{1}{4}을(를) 2에 추가합니다.

$$4\left(-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

4에 \frac{-3y+9}{4}을(를) 곱합니다.

$$-3y+9-5\left(-y+2\right)=-3$$

-5에 -y+2을(를) 곱합니다.

$$-3y+9+5y-10=-3$$

-3y을(를) 5y에 추가합니다.

$$2y+9-10=-3$$

9을(를) -10에 추가합니다.

$$2y-1=-3$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$2y=-2$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}$$

-\frac{3}{4}에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{4}을(를) \frac{3}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=1,y=-1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7,4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

첫 번째 수식을 단순화하여 표준 형식으로 만듭니다.

$$2\left(2x-3\right)+3\left(y+4\right)=7$$

2에 2x-3을(를) 곱합니다.

$$4x-6+3\left(y+4\right)=7$$

3에 y+4을(를) 곱합니다.

$$4x-6+3y+12=7$$

-6을(를) 12에 추가합니다.

$$4x+3y+6=7$$

수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.

$$4x+3y=1$$

두 번째 수식을 단순화하여 표준 형식으로 만듭니다.

$$4\left(x+2\right)-5\left(-y+2\right)=-3$$

4에 x+2을(를) 곱합니다.

$$4x+8-5\left(-y+2\right)=-3$$

-5에 -y+2을(를) 곱합니다.

$$4x+8+5y-10=-3$$

8을(를) -10에 추가합니다.

$$4x+5y-2=-3$$

수식의 양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$4x+5y=-1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{4\times 5-3\times 4}&\frac{4}{4\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8}-\frac{3}{8}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=1,y=-1$$