다음을 풀어보세요: {l}{14x-3y=-63}{7x+2y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 14 x - 3 y = - 63 } \\ { 7 x + 2 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-3$$

$$y=7$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$14x-3y=-63$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$14x=3y-63$$

양쪽을 14(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{14}\left(3y-63\right)$$

\frac{1}{14}에 -63+3y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}$$

다른 수식 7x+2y=-7에서 \frac{3y}{14}-\frac{9}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$7\left(\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}\right)+2y=-7$$

7에 \frac{3y}{14}-\frac{9}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}+2y=-7$$

\frac{3y}{2}을(를) 2y에 추가합니다.

$$\frac{7}{2}y-\frac{63}{2}=-7$$

수식의 양쪽에 \frac{63}{2}을(를) 더합니다.

$$\frac{7}{2}y=\frac{49}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{7}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=7$$

x=\frac{3}{14}y-\frac{9}{2}에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{14}\times 7-\frac{9}{2}$$

\frac{3}{14}에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3-9}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{9}{2}을(를) \frac{3}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=7$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&-3\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}&\frac{14}{14\times 2-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}&\frac{3}{49}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-63\\-7\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{49}\left(-63\right)+\frac{3}{49}\left(-7\right)\\-\frac{1}{7}\left(-63\right)+\frac{2}{7}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-3,y=7$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$14x-3y=-63,7x+2y=-7$$

14x 및 7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 14을(를) 곱합니다.

$$7\times 14x+7\left(-3\right)y=7\left(-63\right),14\times 7x+14\times 2y=14\left(-7\right)$$

단순화합니다.

$$98x-21y=-441,98x+28y=-98$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 98x-21y=-441에서 98x+28y=-98을(를) 뺍니다.

$$98x-98x-21y-28y=-441+98$$

98x을(를) -98x에 추가합니다. 98x 및 -98x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-21y-28y=-441+98$$

-21y을(를) -28y에 추가합니다.

$$-49y=-441+98$$

-441을(를) 98에 추가합니다.

$$-49y=-343$$

양쪽을 -49(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

7x+2y=-7에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$7x+2\times 7=-7$$

2에 7을(를) 곱합니다.

$$7x+14=-7$$

수식의 양쪽에서 14을(를) 뺍니다.

$$7x=-21$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=7$$