다음을 풀어보세요: {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=4$$

$$y=7$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 6y을(를) 뺍니다.

$$10x+y-6y=5$$

y과(와) -6y을(를) 결합하여 -5y(을)를 구합니다.

$$10x-5y=5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 10x을(를) 뺍니다.

$$10y+x-10x=y+27$$

x과(와) -10x을(를) 결합하여 -9x(을)를 구합니다.

$$10y-9x=y+27$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$10y-9x-y=27$$

10y과(와) -y을(를) 결합하여 9y(을)를 구합니다.

$$9y-9x=27$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$10x-5y=5$$

수식의 양쪽에 5y을(를) 더합니다.

$$10x=5y+5$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

\frac{1}{10}에 5+5y을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

다른 수식 -9x+9y=27에서 \frac{1+y}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

-9에 \frac{1+y}{2}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

-\frac{9y}{2}을(를) 9y에 추가합니다.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

수식의 양쪽에 \frac{9}{2}을(를) 더합니다.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{9}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=7$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

\frac{1}{2}에 7을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{2}을(를) \frac{7}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=7$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 6y을(를) 뺍니다.

$$10x+y-6y=5$$

y과(와) -6y을(를) 결합하여 -5y(을)를 구합니다.

$$10x-5y=5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 10x을(를) 뺍니다.

$$10y+x-10x=y+27$$

x과(와) -10x을(를) 결합하여 -9x(을)를 구합니다.

$$10y-9x=y+27$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$10y-9x-y=27$$

10y과(와) -y을(를) 결합하여 9y(을)를 구합니다.

$$9y-9x=27$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=4,y=7$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 6y을(를) 뺍니다.

$$10x+y-6y=5$$

y과(와) -6y을(를) 결합하여 -5y(을)를 구합니다.

$$10x-5y=5$$

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 10x을(를) 뺍니다.

$$10y+x-10x=y+27$$

x과(와) -10x을(를) 결합하여 -9x(을)를 구합니다.

$$10y-9x=y+27$$

양쪽 모두에서 y을(를) 뺍니다.

$$10y-9x-y=27$$

10y과(와) -y을(를) 결합하여 9y(을)를 구합니다.

$$9y-9x=27$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

10x 및 -9x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -9을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 10을(를) 곱합니다.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

단순화합니다.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -90x+45y=-45에서 -90x+90y=270을(를) 뺍니다.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

-90x을(를) 90x에 추가합니다. -90x 및 90x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$45y-90y=-45-270$$

45y을(를) -90y에 추가합니다.

$$-45y=-45-270$$

-45을(를) -270에 추가합니다.

$$-45y=-315$$

양쪽을 -45(으)로 나눕니다.

$$y=7$$

-9x+9y=27에서 y을(를) 7(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-9x+9\times 7=27$$

9에 7을(를) 곱합니다.

$$-9x+63=27$$

수식의 양쪽에서 63을(를) 뺍니다.

$$-9x=-36$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$x=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=4,y=7$$