다음을 풀어보세요: {l}{10x+5y=170}{6x+10y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 5 y = 170 } \\ { 6 x + 10 y = 200 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=10$$

$$y=14$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$10x+5y=170$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$10x=-5y+170$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{10}\left(-5y+170\right)$$

\frac{1}{10}에 -5y+170을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{1}{2}y+17$$

다른 수식 6x+10y=200에서 -\frac{y}{2}+17을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(-\frac{1}{2}y+17\right)+10y=200$$

6에 -\frac{y}{2}+17을(를) 곱합니다.

$$-3y+102+10y=200$$

-3y을(를) 10y에 추가합니다.

$$7y+102=200$$

수식의 양쪽에서 102을(를) 뺍니다.

$$7y=98$$

양쪽을 7(으)로 나눕니다.

$$y=14$$

x=-\frac{1}{2}y+17에서 y을(를) 14(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{1}{2}\times 14+17$$

-\frac{1}{2}에 14을(를) 곱합니다.

$$x=-7+17$$

17을(를) -7에 추가합니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=14$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&5\\6&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10\times 10-5\times 6}&-\frac{5}{10\times 10-5\times 6}\\-\frac{6}{10\times 10-5\times 6}&\frac{10}{10\times 10-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{3}{35}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}170\\200\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 170-\frac{1}{14}\times 200\\-\frac{3}{35}\times 170+\frac{1}{7}\times 200\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\14\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=10,y=14$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$10x+5y=170,6x+10y=200$$

10x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 10을(를) 곱합니다.

$$6\times 10x+6\times 5y=6\times 170,10\times 6x+10\times 10y=10\times 200$$

단순화합니다.

$$60x+30y=1020,60x+100y=2000$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 60x+30y=1020에서 60x+100y=2000을(를) 뺍니다.

$$60x-60x+30y-100y=1020-2000$$

60x을(를) -60x에 추가합니다. 60x 및 -60x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$30y-100y=1020-2000$$

30y을(를) -100y에 추가합니다.

$$-70y=1020-2000$$

1020을(를) -2000에 추가합니다.

$$-70y=-980$$

양쪽을 -70(으)로 나눕니다.

$$y=14$$

6x+10y=200에서 y을(를) 14(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x+10\times 14=200$$

10에 14을(를) 곱합니다.

$$6x+140=200$$

수식의 양쪽에서 140을(를) 뺍니다.

$$6x=60$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=10$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=10,y=14$$