다음을 풀어보세요: {l}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-x+5y=1$$

수식의 양쪽에서 5y을(를) 뺍니다.

$$-x=-5y+1$$

양쪽을 -1(으)로 나눕니다.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

-1에 -5y+1을(를) 곱합니다.

$$x=5y-1$$

다른 수식 -2x-5y=11에서 5y-1을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

-2에 5y-1을(를) 곱합니다.

$$-10y+2-5y=11$$

-10y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-15y+2=11$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$-15y=9$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{3}{5}$$

x=5y-1에서 y을(를) -\frac{3}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

5에 -\frac{3}{5}을(를) 곱합니다.

$$x=-3-1$$

-1을(를) -3에 추가합니다.

$$x=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

-x 및 -2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -1을(를) 곱합니다.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

단순화합니다.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x-10y=-2에서 2x+5y=-11을(를) 뺍니다.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

2x을(를) -2x에 추가합니다. 2x 및 -2x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-10y-5y=-2+11$$

-10y을(를) -5y에 추가합니다.

$$-15y=-2+11$$

-2을(를) 11에 추가합니다.

$$-15y=9$$

양쪽을 -15(으)로 나눕니다.

$$y=-\frac{3}{5}$$

-2x-5y=11에서 y을(를) -\frac{3}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

-5에 -\frac{3}{5}을(를) 곱합니다.

$$-2x+3=11$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$-2x=8$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$x=-4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$