다음을 풀어보세요: {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-2$$

$$y=2$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-8x+4y=24$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$-8x=-4y+24$$

양쪽을 -8(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

-\frac{1}{8}에 -4y+24을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

다른 수식 -7x+7y=28에서 \frac{y}{2}-3을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

-7에 \frac{y}{2}-3을(를) 곱합니다.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

-\frac{7y}{2}을(를) 7y에 추가합니다.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

수식의 양쪽에서 21을(를) 뺍니다.

$$\frac{7}{2}y=7$$

수식의 양쪽을 \frac{7}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=2$$

x=\frac{1}{2}y-3에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

\frac{1}{2}에 2을(를) 곱합니다.

$$x=1-3$$

-3을(를) 1에 추가합니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=2$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-2,y=2$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

-8x 및 -7x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -7을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -8을(를) 곱합니다.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

단순화합니다.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 56x-28y=-168에서 56x-56y=-224을(를) 뺍니다.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

56x을(를) -56x에 추가합니다. 56x 및 -56x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-28y+56y=-168+224$$

-28y을(를) 56y에 추가합니다.

$$28y=-168+224$$

-168을(를) 224에 추가합니다.

$$28y=56$$

양쪽을 28(으)로 나눕니다.

$$y=2$$

-7x+7y=28에서 y을(를) 2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-7x+7\times 2=28$$

7에 2을(를) 곱합니다.

$$-7x+14=28$$

수식의 양쪽에서 14을(를) 뺍니다.

$$-7x=14$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$x=-2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-2,y=2$$