다음을 풀어보세요: {l}{-6x-4y=2}{2x+8y=26}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 6 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-3$$

$$y=4$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-6x-4y=2$$

수식의 양쪽에 4y을(를) 더합니다.

$$-6x=4y+2$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{6}\left(4y+2\right)$$

-\frac{1}{6}에 4y+2을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

다른 수식 2x+8y=26에서 \frac{-2y-1}{3}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=26$$

2에 \frac{-2y-1}{3}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+8y=26$$

-\frac{4y}{3}을(를) 8y에 추가합니다.

$$\frac{20}{3}y-\frac{2}{3}=26$$

수식의 양쪽에 \frac{2}{3}을(를) 더합니다.

$$\frac{20}{3}y=\frac{80}{3}$$

수식의 양쪽을 \frac{20}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=4$$

x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

-\frac{2}{3}에 4을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-8-1}{3}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{1}{3}을(를) -\frac{8}{3}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=4$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{6}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{10}\times 26\\\frac{1}{20}\times 2+\frac{3}{20}\times 26\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-3,y=4$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

-6x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -6을(를) 곱합니다.

$$2\left(-6\right)x+2\left(-4\right)y=2\times 2,-6\times 2x-6\times 8y=-6\times 26$$

단순화합니다.

$$-12x-8y=4,-12x-48y=-156$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -12x-8y=4에서 -12x-48y=-156을(를) 뺍니다.

$$-12x+12x-8y+48y=4+156$$

-12x을(를) 12x에 추가합니다. -12x 및 12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-8y+48y=4+156$$

-8y을(를) 48y에 추가합니다.

$$40y=4+156$$

4을(를) 156에 추가합니다.

$$40y=160$$

양쪽을 40(으)로 나눕니다.

$$y=4$$

2x+8y=26에서 y을(를) 4(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x+8\times 4=26$$

8에 4을(를) 곱합니다.

$$2x+32=26$$

수식의 양쪽에서 32을(를) 뺍니다.

$$2x=-6$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=-3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-3,y=4$$