다음을 풀어보세요: {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=3$$

$$y=3$$

치환을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 10x을(를) 뺍니다.

$$5y-10x=-15$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-5x+y=-12$$

수식의 양쪽에서 y을(를) 뺍니다.

$$-5x=-y-12$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

-\frac{1}{5}에 -y-12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

다른 수식 -10x+5y=-15에서 \frac{12+y}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

-10에 \frac{12+y}{5}을(를) 곱합니다.

$$-2y-24+5y=-15$$

-2y을(를) 5y에 추가합니다.

$$3y-24=-15$$

수식의 양쪽에 24을(를) 더합니다.

$$3y=9$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

\frac{1}{5}에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{12}{5}을(를) \frac{3}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=3$$

행렬을 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 10x을(를) 뺍니다.

$$5y-10x=-15$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=3,y=3$$

소거를 사용한 단계

두 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 10x을(를) 뺍니다.

$$5y-10x=-15$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

-5x 및 -10x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -10을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱합니다.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

단순화합니다.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 50x-10y=120에서 50x-25y=75을(를) 뺍니다.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

50x을(를) -50x에 추가합니다. 50x 및 -50x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-10y+25y=120-75$$

-10y을(를) 25y에 추가합니다.

$$15y=120-75$$

120을(를) -75에 추가합니다.

$$15y=45$$

양쪽을 15(으)로 나눕니다.

$$y=3$$

-10x+5y=-15에서 y을(를) 3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-10x+5\times 3=-15$$

5에 3을(를) 곱합니다.

$$-10x+15=-15$$

수식의 양쪽에서 15을(를) 뺍니다.

$$-10x=-30$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$x=3$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=3,y=3$$