다음을 풀어보세요: {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=1$$

$$b=-2$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4a을(를) 뺍니다.

$$-3a-4a=2b-3$$

-3a과(와) -4a을(를) 결합하여 -7a(을)를 구합니다.

$$-7a=2b-3$$

양쪽을 -7(으)로 나눕니다.

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

-\frac{1}{7}에 2b-3을(를) 곱합니다.

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

다른 수식 -2a-b=0에서 \frac{-2b+3}{7}을(를) a(으)로 치환합니다.

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

-2에 \frac{-2b+3}{7}을(를) 곱합니다.

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

\frac{4b}{7}을(를) -b에 추가합니다.

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

수식의 양쪽에 \frac{6}{7}을(를) 더합니다.

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

수식의 양쪽을 -\frac{3}{7}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$b=-2$$

a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}에서 b을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

-\frac{2}{7}에 -2을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{4+3}{7}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{3}{7}을(를) \frac{4}{7}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$a=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=1,b=-2$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4a을(를) 뺍니다.

$$-3a-4a=2b-3$$

-3a과(와) -4a을(를) 결합하여 -7a(을)를 구합니다.

$$-7a=2b-3$$

양쪽 모두에서 2b을(를) 뺍니다.

$$-7a-2b=-3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 a 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 2a을(를) 곱합니다.

$$-b=2a$$

양쪽 모두에서 2a을(를) 뺍니다.

$$-b-2a=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=1,b=-2$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 양쪽 모두에서 4a을(를) 뺍니다.

$$-3a-4a=2b-3$$

-3a과(와) -4a을(를) 결합하여 -7a(을)를 구합니다.

$$-7a=2b-3$$

양쪽 모두에서 2b을(를) 뺍니다.

$$-7a-2b=-3$$

두 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 a 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 2a을(를) 곱합니다.

$$-b=2a$$

양쪽 모두에서 2a을(를) 뺍니다.

$$-b-2a=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

-7a 및 -2a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -7을(를) 곱합니다.

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

단순화합니다.

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 14a+4b=6에서 14a+7b=0을(를) 뺍니다.

$$14a-14a+4b-7b=6$$

14a을(를) -14a에 추가합니다. 14a 및 -14a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$4b-7b=6$$

4b을(를) -7b에 추가합니다.

$$-3b=6$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$b=-2$$

-2a-b=0에서 b을(를) -2(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

수식의 양쪽에서 2을(를) 뺍니다.

$$-2a=-2$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$a=1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=1,b=-2$$