다음을 풀어보세요: {l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-10x-3y=9$$

수식의 양쪽에 3y을(를) 더합니다.

$$-10x=3y+9$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

-\frac{1}{10}에 9+3y을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

다른 수식 -5x+5y=-2에서 \frac{-3y-9}{10}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

-5에 \frac{-3y-9}{10}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

\frac{3y}{2}을(를) 5y에 추가합니다.

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

수식의 양쪽에서 \frac{9}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{13}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=-1$$

x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

-\frac{3}{10}에 -1을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3-9}{10}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{9}{10}을(를) \frac{3}{10}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{3}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

-10x 및 -5x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -10을(를) 곱합니다.

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

단순화합니다.

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 50x+15y=-45에서 50x-50y=20을(를) 뺍니다.

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

50x을(를) -50x에 추가합니다. 50x 및 -50x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$15y+50y=-45-20$$

15y을(를) 50y에 추가합니다.

$$65y=-45-20$$

-45을(를) -20에 추가합니다.

$$65y=-65$$

양쪽을 65(으)로 나눕니다.

$$y=-1$$

-5x+5y=-2에서 y을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

5에 -1을(를) 곱합니다.

$$-5x-5=-2$$

수식의 양쪽에 5을(를) 더합니다.

$$-5x=3$$

양쪽을 -5(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{3}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$