다음을 풀어보세요: {l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=11$$

$$y=36$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-10x+3y=-2$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$-10x=-3y-2$$

양쪽을 -10(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

-\frac{1}{10}에 -3y-2을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

다른 수식 4x-y=8에서 \frac{3y}{10}+\frac{1}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

4에 \frac{3y}{10}+\frac{1}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

\frac{6y}{5}을(를) -y에 추가합니다.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{5}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

양쪽에 5을(를) 곱합니다.

$$y=36$$

x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}에서 y을(를) 36(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

\frac{3}{10}에 36을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{5}을(를) \frac{54}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=11$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=11,y=36$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=11,y=36$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

-10x 및 4x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -10을(를) 곱합니다.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

단순화합니다.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -40x+12y=-8에서 -40x+10y=-80을(를) 뺍니다.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

-40x을(를) 40x에 추가합니다. -40x 및 40x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$12y-10y=-8+80$$

12y을(를) -10y에 추가합니다.

$$2y=-8+80$$

-8을(를) 80에 추가합니다.

$$2y=72$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=36$$

4x-y=8에서 y을(를) 36(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$4x-36=8$$

수식의 양쪽에 36을(를) 더합니다.

$$4x=44$$

양쪽을 4(으)로 나눕니다.

$$x=11$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=11,y=36$$