다음을 풀어보세요: {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=2$$

$$y=0$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -2에 x-2y(을)를 곱합니다.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-4x과(와) -2x을(를) 결합하여 -6x(을)를 구합니다.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 3을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2}의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

1에서 9을(를) 빼고 -8을(를) 구합니다.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$-6x+4+4y=-8$$

양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다.

$$-6x+4y=-8-4$$

-8에서 4을(를) 빼고 -12을(를) 구합니다.

$$-6x+4y=-12$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$-6x+4y=-12$$

수식의 양쪽에서 4y을(를) 뺍니다.

$$-6x=-4y-12$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

-\frac{1}{6}에 -4y-12을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

다른 수식 2x+y=4에서 \frac{2y}{3}+2을(를) x(으)로 치환합니다.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

2에 \frac{2y}{3}+2을(를) 곱합니다.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

\frac{4y}{3}을(를) y에 추가합니다.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

수식의 양쪽에서 4을(를) 뺍니다.

$$\frac{7}{3}y=0$$

수식의 양쪽을 \frac{7}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=0$$

x=\frac{2}{3}y+2에서 y을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=0$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -2에 x-2y(을)를 곱합니다.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-4x과(와) -2x을(를) 결합하여 -6x(을)를 구합니다.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 3을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2}의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

1에서 9을(를) 빼고 -8을(를) 구합니다.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$-6x+4+4y=-8$$

양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다.

$$-6x+4y=-8-4$$

-8에서 4을(를) 빼고 -12을(를) 구합니다.

$$-6x+4y=-12$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=2,y=0$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -2에 x-2y(을)를 곱합니다.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

-4x과(와) -2x을(를) 결합하여 -6x(을)를 구합니다.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

\left(3-x\right)\left(3+x\right)을(를) 고려하세요. 곱하기는 \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} 규칙을 사용하여 제곱의 차로 변환할 수 있습니다. 3을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

9-x^{2}의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

1에서 9을(를) 빼고 -8을(를) 구합니다.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

양쪽 모두에서 x^{2}을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

x^{2}과(와) -x^{2}을(를) 결합하여 0(을)를 구합니다.

$$-6x+4+4y=-8$$

양쪽 모두에서 4을(를) 뺍니다.

$$-6x+4y=-8-4$$

-8에서 4을(를) 빼고 -12을(를) 구합니다.

$$-6x+4y=-12$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

-6x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -6을(를) 곱합니다.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

단순화합니다.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -12x+8y=-24에서 -12x-6y=-24을(를) 뺍니다.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

-12x을(를) 12x에 추가합니다. -12x 및 12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$8y+6y=-24+24$$

8y을(를) 6y에 추가합니다.

$$14y=-24+24$$

-24을(를) 24에 추가합니다.

$$14y=0$$

양쪽을 14(으)로 나눕니다.

$$y=0$$

2x+y=4에서 y을(를) 0(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$2x=4$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=2$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=2,y=0$$