다음을 풀어보세요: {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

-2에 b-2013을(를) 곱합니다.

$$a-2b+4026+2012=3$$

4026을(를) 2012에 추가합니다.

$$a-2b+6038=3$$

수식의 양쪽에서 6038을(를) 뺍니다.

$$a-2b=-6035$$

수식의 양쪽에 2b을(를) 더합니다.

$$a=2b-6035$$

다른 수식 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5에서 2b-6035을(를) a(으)로 치환합니다.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

-6035을(를) 2012에 추가합니다.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

3에 2b-4023을(를) 곱합니다.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

4에 b-2013을(를) 곱합니다.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

6b을(를) 4b에 추가합니다.

$$10b-12069-8052=5$$

-12069을(를) -8052에 추가합니다.

$$10b-20121=5$$

수식의 양쪽에 20121을(를) 더합니다.

$$10b=20126$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$b=\frac{10063}{5}$$

a=2b-6035에서 b을(를) \frac{10063}{5}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

2에 \frac{10063}{5}을(를) 곱합니다.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

-6035을(를) \frac{20126}{5}에 추가합니다.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

첫 번째 수식을 단순화하여 표준 형식으로 만듭니다.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

-2에 b-2013을(를) 곱합니다.

$$a-2b+4026+2012=3$$

4026을(를) 2012에 추가합니다.

$$a-2b+6038=3$$

수식의 양쪽에서 6038을(를) 뺍니다.

$$a-2b=-6035$$

두 번째 수식을 단순화하여 표준 형식으로 만듭니다.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

3에 a+2012을(를) 곱합니다.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

4에 b-2013을(를) 곱합니다.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

6036을(를) -8052에 추가합니다.

$$3a+4b-2016=5$$

수식의 양쪽에 2016을(를) 더합니다.

$$3a+4b=2021$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$