다음을 풀어보세요: {l}{x/y=e}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { y } = e } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=\frac{e}{e+1}\approx 0.731058579$$

$$y=\frac{1}{e+1}\approx 0.268941421$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 y을(를) 곱합니다.

$$x=ey$$

다른 수식 x+y=1에서 ey을(를) x(으)로 치환합니다.

$$ey+y=1$$

ey을(를) y에 추가합니다.

$$\left(e+1\right)y=1$$

양쪽을 e+1(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

x=ey에서 y을(를) \frac{1}{e+1}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=e\times \frac{1}{e+1}$$

e에 \frac{1}{e+1}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

y 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 y을(를) 곱합니다.

$$x=ey$$

양쪽 모두에서 ey을(를) 뺍니다.

$$x-ey=0$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-e\right)}&-\frac{-e}{1-\left(-e\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-e\right)}&\frac{1}{1-\left(-e\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{e+1}&\frac{e}{e+1}\\-\frac{1}{e+1}&\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{e}{e+1}\\\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

y 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 y 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽 모두에 y을(를) 곱합니다.

$$x=ey$$

양쪽 모두에서 ey을(를) 뺍니다.

$$x-ey=0$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 x+\left(-e\right)y=0에서 x+y=1을(를) 뺍니다.

$$x-x+\left(-e\right)y-y=-1$$

x을(를) -x에 추가합니다. x 및 -x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\left(-e\right)y-y=-1$$

-ey을(를) -y에 추가합니다.

$$\left(-e-1\right)y=-1$$

양쪽을 -e-1(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

x+y=1에서 y을(를) \frac{1}{1+e}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x+\frac{1}{e+1}=1$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{1+e}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

y 변수는 0과(와) 같을 수 없습니다.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$