\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 3 } = 7 } \\ { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { y } { 2 } = 14 } \end{array} \right.
x, y에 대한 해
x=12
y=12
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\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
\frac{1}{4}x=-\frac{1}{3}y+7
수식의 양쪽에서 \frac{y}{3}을(를) 뺍니다.
x=4\left(-\frac{1}{3}y+7\right)
양쪽에 4을(를) 곱합니다.
x=-\frac{4}{3}y+28
4에 -\frac{y}{3}+7을(를) 곱합니다.
\frac{2}{3}\left(-\frac{4}{3}y+28\right)+\frac{1}{2}y=14
다른 수식 \frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14에서 -\frac{4y}{3}+28을(를) x(으)로 치환합니다.
-\frac{8}{9}y+\frac{56}{3}+\frac{1}{2}y=14
\frac{2}{3}에 -\frac{4y}{3}+28을(를) 곱합니다.
-\frac{7}{18}y+\frac{56}{3}=14
-\frac{8y}{9}을(를) \frac{y}{2}에 추가합니다.
-\frac{7}{18}y=-\frac{14}{3}
수식의 양쪽에서 \frac{56}{3}을(를) 뺍니다.
y=12
수식의 양쪽을 -\frac{7}{18}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
x=-\frac{4}{3}\times 12+28
x=-\frac{4}{3}y+28에서 y을(를) 12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=-16+28
-\frac{4}{3}에 12을(를) 곱합니다.
x=12
28을(를) -16에 추가합니다.
x=12,y=12
시스템이 이제 해결되었습니다.
\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}&\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}&\frac{24}{7}\\\frac{48}{7}&-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\14\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{36}{7}\times 7+\frac{24}{7}\times 14\\\frac{48}{7}\times 7-\frac{18}{7}\times 14\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=12,y=12
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
\frac{1}{4}x+\frac{1}{3}y=7,\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}x+\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{2}{3}\times 7,\frac{1}{4}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}y=\frac{1}{4}\times 14
\frac{x}{4} 및 \frac{2x}{3}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{2}{3}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{4}을(를) 곱합니다.
\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3},\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}
단순화합니다.
\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{1}{6}x+\frac{2}{9}y=\frac{14}{3}에서 \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=\frac{7}{2}을(를) 뺍니다.
\frac{2}{9}y-\frac{1}{8}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}
\frac{x}{6}을(를) -\frac{x}{6}에 추가합니다. \frac{x}{6} 및 -\frac{x}{6}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
\frac{7}{72}y=\frac{14}{3}-\frac{7}{2}
\frac{2y}{9}을(를) -\frac{y}{8}에 추가합니다.
\frac{7}{72}y=\frac{7}{6}
공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{14}{3}을(를) -\frac{7}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
y=12
수식의 양쪽을 \frac{7}{72}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}\times 12=14
\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y=14에서 y을(를) 12(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
\frac{2}{3}x+6=14
\frac{1}{2}에 12을(를) 곱합니다.
\frac{2}{3}x=8
수식의 양쪽에서 6을(를) 뺍니다.
x=12
수식의 양쪽을 \frac{2}{3}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
x=12,y=12
시스템이 이제 해결되었습니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}