\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = - \frac { 7 } { 12 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 6 } } \end{array} \right.
x, y에 대한 해
x=11
y=-17
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\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12}
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
\frac{1}{3}x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}
수식의 양쪽에서 \frac{y}{4}을(를) 뺍니다.
x=3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}\right)
양쪽에 3을(를) 곱합니다.
x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}
3에 -\frac{y}{4}-\frac{7}{12}을(를) 곱합니다.
\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}
다른 수식 \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}에서 \frac{-3y-7}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.
-\frac{3}{8}y-\frac{7}{8}+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}
\frac{1}{2}에 \frac{-3y-7}{4}을(를) 곱합니다.
-\frac{1}{24}y-\frac{7}{8}=-\frac{1}{6}
-\frac{3y}{8}을(를) \frac{y}{3}에 추가합니다.
-\frac{1}{24}y=\frac{17}{24}
수식의 양쪽에 \frac{7}{8}을(를) 더합니다.
y=-17
양쪽에 -24을(를) 곱합니다.
x=-\frac{3}{4}\left(-17\right)-\frac{7}{4}
x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}에서 y을(를) -17(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=\frac{51-7}{4}
-\frac{3}{4}에 -17을(를) 곱합니다.
x=11
공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{7}{4}을(를) \frac{51}{4}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
x=11,y=-17
시스템이 이제 해결되었습니다.
\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24&18\\36&-24\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\left(-\frac{7}{12}\right)+18\left(-\frac{1}{6}\right)\\36\left(-\frac{7}{12}\right)-24\left(-\frac{1}{6}\right)\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=11,y=-17
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{12}\right),\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)
\frac{x}{3} 및 \frac{x}{2}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{2}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{3}을(를) 곱합니다.
\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24},\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18}
단순화합니다.
\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24}에서 \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18}을(를) 뺍니다.
\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}
\frac{x}{6}을(를) -\frac{x}{6}에 추가합니다. \frac{x}{6} 및 -\frac{x}{6}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
\frac{1}{72}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}
\frac{y}{8}을(를) -\frac{y}{9}에 추가합니다.
\frac{1}{72}y=-\frac{17}{72}
공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{7}{24}을(를) \frac{1}{18}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
y=-17
양쪽에 72을(를) 곱합니다.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-17\right)=-\frac{1}{6}
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}에서 y을(를) -17(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
\frac{1}{2}x-\frac{17}{3}=-\frac{1}{6}
\frac{1}{3}에 -17을(를) 곱합니다.
\frac{1}{2}x=\frac{11}{2}
수식의 양쪽에 \frac{17}{3}을(를) 더합니다.
x=11
양쪽에 2을(를) 곱합니다.
x=11,y=-17
시스템이 이제 해결되었습니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}