\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.
x, y에 대한 해
x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538
y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385
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4x+3y=6\times 2-2\times 6
첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,4,2,6의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.
4x+3y=12-12
곱하기를 수행합니다.
4x+3y=0
12에서 12을(를) 빼고 0을(를) 구합니다.
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,2,4,10의 최소 공통 배수인 20(으)로 곱합니다.
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
분배 법칙을 사용하여 4에 2x+y(을)를 곱합니다.
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
분배 법칙을 사용하여 -10에 y-2(을)를 곱합니다.
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4y과(와) -10y을(를) 결합하여 -6y(을)를 구합니다.
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
분배 법칙을 사용하여 5에 x+y-3(을)를 곱합니다.
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
분배 법칙을 사용하여 -2에 y-x-1(을)를 곱합니다.
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
5y과(와) -2y을(를) 결합하여 3y(을)를 구합니다.
8x-6y+20=7x+3y-15+2
5x과(와) 2x을(를) 결합하여 7x(을)를 구합니다.
8x-6y+20=7x+3y-13
-15과(와) 2을(를) 더하여 -13을(를) 구합니다.
8x-6y+20-7x=3y-13
양쪽 모두에서 7x을(를) 뺍니다.
x-6y+20=3y-13
8x과(와) -7x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.
x-6y+20-3y=-13
양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.
x-9y+20=-13
-6y과(와) -3y을(를) 결합하여 -9y(을)를 구합니다.
x-9y=-13-20
양쪽 모두에서 20을(를) 뺍니다.
x-9y=-33
-13에서 20을(를) 빼고 -33을(를) 구합니다.
4x+3y=0,x-9y=-33
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
4x+3y=0
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
4x=-3y
수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.
x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y
양쪽을 4(으)로 나눕니다.
x=-\frac{3}{4}y
\frac{1}{4}에 -3y을(를) 곱합니다.
-\frac{3}{4}y-9y=-33
다른 수식 x-9y=-33에서 -\frac{3y}{4}을(를) x(으)로 치환합니다.
-\frac{39}{4}y=-33
-\frac{3y}{4}을(를) -9y에 추가합니다.
y=\frac{44}{13}
수식의 양쪽을 -\frac{39}{4}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}
x=-\frac{3}{4}y에서 y을(를) \frac{44}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=-\frac{33}{13}
분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{4}에 \frac{44}{13}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}
시스템이 이제 해결되었습니다.
4x+3y=6\times 2-2\times 6
첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,4,2,6의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.
4x+3y=12-12
곱하기를 수행합니다.
4x+3y=0
12에서 12을(를) 빼고 0을(를) 구합니다.
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,2,4,10의 최소 공통 배수인 20(으)로 곱합니다.
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
분배 법칙을 사용하여 4에 2x+y(을)를 곱합니다.
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
분배 법칙을 사용하여 -10에 y-2(을)를 곱합니다.
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4y과(와) -10y을(를) 결합하여 -6y(을)를 구합니다.
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
분배 법칙을 사용하여 5에 x+y-3(을)를 곱합니다.
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
분배 법칙을 사용하여 -2에 y-x-1(을)를 곱합니다.
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
5y과(와) -2y을(를) 결합하여 3y(을)를 구합니다.
8x-6y+20=7x+3y-15+2
5x과(와) 2x을(를) 결합하여 7x(을)를 구합니다.
8x-6y+20=7x+3y-13
-15과(와) 2을(를) 더하여 -13을(를) 구합니다.
8x-6y+20-7x=3y-13
양쪽 모두에서 7x을(를) 뺍니다.
x-6y+20=3y-13
8x과(와) -7x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.
x-6y+20-3y=-13
양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.
x-9y+20=-13
-6y과(와) -3y을(를) 결합하여 -9y(을)를 구합니다.
x-9y=-13-20
양쪽 모두에서 20을(를) 뺍니다.
x-9y=-33
-13에서 20을(를) 빼고 -33을(를) 구합니다.
4x+3y=0,x-9y=-33
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
4x+3y=6\times 2-2\times 6
첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,4,2,6의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.
4x+3y=12-12
곱하기를 수행합니다.
4x+3y=0
12에서 12을(를) 빼고 0을(를) 구합니다.
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,2,4,10의 최소 공통 배수인 20(으)로 곱합니다.
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
분배 법칙을 사용하여 4에 2x+y(을)를 곱합니다.
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
분배 법칙을 사용하여 -10에 y-2(을)를 곱합니다.
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4y과(와) -10y을(를) 결합하여 -6y(을)를 구합니다.
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
분배 법칙을 사용하여 5에 x+y-3(을)를 곱합니다.
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
분배 법칙을 사용하여 -2에 y-x-1(을)를 곱합니다.
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
5y과(와) -2y을(를) 결합하여 3y(을)를 구합니다.
8x-6y+20=7x+3y-15+2
5x과(와) 2x을(를) 결합하여 7x(을)를 구합니다.
8x-6y+20=7x+3y-13
-15과(와) 2을(를) 더하여 -13을(를) 구합니다.
8x-6y+20-7x=3y-13
양쪽 모두에서 7x을(를) 뺍니다.
x-6y+20=3y-13
8x과(와) -7x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.
x-6y+20-3y=-13
양쪽 모두에서 3y을(를) 뺍니다.
x-9y+20=-13
-6y과(와) -3y을(를) 결합하여 -9y(을)를 구합니다.
x-9y=-13-20
양쪽 모두에서 20을(를) 뺍니다.
x-9y=-33
-13에서 20을(를) 빼고 -33을(를) 구합니다.
4x+3y=0,x-9y=-33
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)
4x 및 x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 1을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 4을(를) 곱합니다.
4x+3y=0,4x-36y=-132
단순화합니다.
4x-4x+3y+36y=132
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 4x+3y=0에서 4x-36y=-132을(를) 뺍니다.
3y+36y=132
4x을(를) -4x에 추가합니다. 4x 및 -4x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
39y=132
3y을(를) 36y에 추가합니다.
y=\frac{44}{13}
양쪽을 39(으)로 나눕니다.
x-9\times \frac{44}{13}=-33
x-9y=-33에서 y을(를) \frac{44}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x-\frac{396}{13}=-33
-9에 \frac{44}{13}을(를) 곱합니다.
x=-\frac{33}{13}
수식의 양쪽에 \frac{396}{13}을(를) 더합니다.
x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}
시스템이 이제 해결되었습니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}