\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 3 y } { 3 } = \frac { y + 1 } { 2 } + \frac { 3 x } { 4 } } \\ { \frac { 3 x + 5 y } { 5 } = \frac { x + 4 } { 2 } - \frac { x + y + 9 } { 10 } } \end{array} \right.
x, y에 대한 해
x=0
y=1
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4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x
첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2,4의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.
4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x
분배 법칙을 사용하여 4에 x+3y(을)를 곱합니다.
4x+12y=6y+6+3\times 3x
분배 법칙을 사용하여 6에 y+1(을)를 곱합니다.
4x+12y=6y+6+9x
3과(와) 3을(를) 곱하여 9(을)를 구합니다.
4x+12y-6y=6+9x
양쪽 모두에서 6y을(를) 뺍니다.
4x+6y=6+9x
12y과(와) -6y을(를) 결합하여 6y(을)를 구합니다.
4x+6y-9x=6
양쪽 모두에서 9x을(를) 뺍니다.
-5x+6y=6
4x과(와) -9x을(를) 결합하여 -5x(을)를 구합니다.
2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,2,10의 최소 공통 배수인 10(으)로 곱합니다.
6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
분배 법칙을 사용하여 2에 3x+5y(을)를 곱합니다.
6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)
분배 법칙을 사용하여 5에 x+4(을)를 곱합니다.
6x+10y=5x+20-x-y-9
x+y+9의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.
6x+10y=4x+20-y-9
5x과(와) -x을(를) 결합하여 4x(을)를 구합니다.
6x+10y=4x+11-y
20에서 9을(를) 빼고 11을(를) 구합니다.
6x+10y-4x=11-y
양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.
2x+10y=11-y
6x과(와) -4x을(를) 결합하여 2x(을)를 구합니다.
2x+10y+y=11
양쪽에 y을(를) 더합니다.
2x+11y=11
10y과(와) y을(를) 결합하여 11y(을)를 구합니다.
-5x+6y=6,2x+11y=11
대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.
-5x+6y=6
수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.
-5x=-6y+6
수식의 양쪽에서 6y을(를) 뺍니다.
x=-\frac{1}{5}\left(-6y+6\right)
양쪽을 -5(으)로 나눕니다.
x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}
-\frac{1}{5}에 -6y+6을(를) 곱합니다.
2\left(\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}\right)+11y=11
다른 수식 2x+11y=11에서 \frac{-6+6y}{5}을(를) x(으)로 치환합니다.
\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+11y=11
2에 \frac{-6+6y}{5}을(를) 곱합니다.
\frac{67}{5}y-\frac{12}{5}=11
\frac{12y}{5}을(를) 11y에 추가합니다.
\frac{67}{5}y=\frac{67}{5}
수식의 양쪽에 \frac{12}{5}을(를) 더합니다.
y=1
수식의 양쪽을 \frac{67}{5}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.
x=\frac{6-6}{5}
x=\frac{6}{5}y-\frac{6}{5}에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
x=0
공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{6}{5}을(를) \frac{6}{5}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.
x=0,y=1
시스템이 이제 해결되었습니다.
4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x
첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2,4의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.
4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x
분배 법칙을 사용하여 4에 x+3y(을)를 곱합니다.
4x+12y=6y+6+3\times 3x
분배 법칙을 사용하여 6에 y+1(을)를 곱합니다.
4x+12y=6y+6+9x
3과(와) 3을(를) 곱하여 9(을)를 구합니다.
4x+12y-6y=6+9x
양쪽 모두에서 6y을(를) 뺍니다.
4x+6y=6+9x
12y과(와) -6y을(를) 결합하여 6y(을)를 구합니다.
4x+6y-9x=6
양쪽 모두에서 9x을(를) 뺍니다.
-5x+6y=6
4x과(와) -9x을(를) 결합하여 -5x(을)를 구합니다.
2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,2,10의 최소 공통 배수인 10(으)로 곱합니다.
6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
분배 법칙을 사용하여 2에 3x+5y(을)를 곱합니다.
6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)
분배 법칙을 사용하여 5에 x+4(을)를 곱합니다.
6x+10y=5x+20-x-y-9
x+y+9의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.
6x+10y=4x+20-y-9
5x과(와) -x을(를) 결합하여 4x(을)를 구합니다.
6x+10y=4x+11-y
20에서 9을(를) 빼고 11을(를) 구합니다.
6x+10y-4x=11-y
양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.
2x+10y=11-y
6x과(와) -4x을(를) 결합하여 2x(을)를 구합니다.
2x+10y+y=11
양쪽에 y을(를) 더합니다.
2x+11y=11
10y과(와) y을(를) 결합하여 11y(을)를 구합니다.
-5x+6y=6,2x+11y=11
표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.
\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
수식을 행렬 형식으로 작성합니다.
inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&6\\2&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{6}{-5\times 11-6\times 2}\\-\frac{2}{-5\times 11-6\times 2}&-\frac{5}{-5\times 11-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)에 대해 역행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬 수식은 행렬 곱 문제로 다시 쓸 수 있습니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}&\frac{6}{67}\\\frac{2}{67}&\frac{5}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{67}\times 6+\frac{6}{67}\times 11\\\frac{2}{67}\times 6+\frac{5}{67}\times 11\end{matrix}\right)
행렬을 곱합니다.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)
산술 연산을 수행합니다.
x=0,y=1
행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.
4\left(x+3y\right)=6\left(y+1\right)+3\times 3x
첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 3,2,4의 최소 공통 배수인 12(으)로 곱합니다.
4x+12y=6\left(y+1\right)+3\times 3x
분배 법칙을 사용하여 4에 x+3y(을)를 곱합니다.
4x+12y=6y+6+3\times 3x
분배 법칙을 사용하여 6에 y+1(을)를 곱합니다.
4x+12y=6y+6+9x
3과(와) 3을(를) 곱하여 9(을)를 구합니다.
4x+12y-6y=6+9x
양쪽 모두에서 6y을(를) 뺍니다.
4x+6y=6+9x
12y과(와) -6y을(를) 결합하여 6y(을)를 구합니다.
4x+6y-9x=6
양쪽 모두에서 9x을(를) 뺍니다.
-5x+6y=6
4x과(와) -9x을(를) 결합하여 -5x(을)를 구합니다.
2\left(3x+5y\right)=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
두 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 5,2,10의 최소 공통 배수인 10(으)로 곱합니다.
6x+10y=5\left(x+4\right)-\left(x+y+9\right)
분배 법칙을 사용하여 2에 3x+5y(을)를 곱합니다.
6x+10y=5x+20-\left(x+y+9\right)
분배 법칙을 사용하여 5에 x+4(을)를 곱합니다.
6x+10y=5x+20-x-y-9
x+y+9의 반대수를 찾으려면 각 항의 반대수를 찾으세요.
6x+10y=4x+20-y-9
5x과(와) -x을(를) 결합하여 4x(을)를 구합니다.
6x+10y=4x+11-y
20에서 9을(를) 빼고 11을(를) 구합니다.
6x+10y-4x=11-y
양쪽 모두에서 4x을(를) 뺍니다.
2x+10y=11-y
6x과(와) -4x을(를) 결합하여 2x(을)를 구합니다.
2x+10y+y=11
양쪽에 y을(를) 더합니다.
2x+11y=11
10y과(와) y을(를) 결합하여 11y(을)를 구합니다.
-5x+6y=6,2x+11y=11
소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.
2\left(-5\right)x+2\times 6y=2\times 6,-5\times 2x-5\times 11y=-5\times 11
-5x 및 2x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -5을(를) 곱합니다.
-10x+12y=12,-10x-55y=-55
단순화합니다.
-10x+10x+12y+55y=12+55
등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -10x+12y=12에서 -10x-55y=-55을(를) 뺍니다.
12y+55y=12+55
-10x을(를) 10x에 추가합니다. -10x 및 10x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.
67y=12+55
12y을(를) 55y에 추가합니다.
67y=67
12을(를) 55에 추가합니다.
y=1
양쪽을 67(으)로 나눕니다.
2x+11=11
2x+11y=11에서 y을(를) 1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.
2x=0
수식의 양쪽에서 11을(를) 뺍니다.
x=0
양쪽을 2(으)로 나눕니다.
x=0,y=1
시스템이 이제 해결되었습니다.
예제
이차방정식
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
삼각법
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
일차방정식
y = 3x + 4
산수
699 * 533
행렬
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
연립방정식
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
미분
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
적분
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
극한
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}