다음을 풀어보세요: {l}{m/2+n/3=2}{m/3-n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { m } { 2 } + \frac { n } { 3 } = 2 } \\ { \frac { m } { 3 } - n = 5 } \end{array} \right.$$

m, n에 대한 해

$$m=6$$

$$n=-3$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2,\frac{1}{3}m-n=5$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 m을(를) 고립시켜 m에 대한 해를 찾습니다.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2$$

수식의 양쪽에서 \frac{n}{3}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{2}m=-\frac{1}{3}n+2$$

양쪽에 2을(를) 곱합니다.

$$m=2\left(-\frac{1}{3}n+2\right)$$

2에 -\frac{n}{3}+2을(를) 곱합니다.

$$m=-\frac{2}{3}n+4$$

다른 수식 \frac{1}{3}m-n=5에서 -\frac{2n}{3}+4을(를) m(으)로 치환합니다.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}n+4\right)-n=5$$

\frac{1}{3}에 -\frac{2n}{3}+4을(를) 곱합니다.

$$-\frac{2}{9}n+\frac{4}{3}-n=5$$

-\frac{2n}{9}을(를) -n에 추가합니다.

$$-\frac{11}{9}n+\frac{4}{3}=5$$

수식의 양쪽에서 \frac{4}{3}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{11}{9}n=\frac{11}{3}$$

수식의 양쪽을 -\frac{11}{9}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$n=-3$$

m=-\frac{2}{3}n+4에서 n을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$m=-\frac{2}{3}\left(-3\right)+4$$

-\frac{2}{3}에 -3을(를) 곱합니다.

$$m=2+4$$

4을(를) 2에 추가합니다.

$$m=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=6,n=-3$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2,\frac{1}{3}m-n=5$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{6}{11}&-\frac{9}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}\times 2+\frac{6}{11}\times 5\\\frac{6}{11}\times 2-\frac{9}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 m 및 n을(를) 추출합니다.

$$m=6,n=-3$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2,\frac{1}{3}m-n=5$$

\frac{m}{2} 및 \frac{m}{3}을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{3}을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 \frac{1}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}m+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}n=\frac{1}{3}\times 2,\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}m+\frac{1}{2}\left(-1\right)n=\frac{1}{2}\times 5$$

단순화합니다.

$$\frac{1}{6}m+\frac{1}{9}n=\frac{2}{3},\frac{1}{6}m-\frac{1}{2}n=\frac{5}{2}$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 \frac{1}{6}m+\frac{1}{9}n=\frac{2}{3}에서 \frac{1}{6}m-\frac{1}{2}n=\frac{5}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{6}m-\frac{1}{6}m+\frac{1}{9}n+\frac{1}{2}n=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}$$

\frac{m}{6}을(를) -\frac{m}{6}에 추가합니다. \frac{m}{6} 및 -\frac{m}{6}이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$\frac{1}{9}n+\frac{1}{2}n=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}$$

\frac{n}{9}을(를) \frac{n}{2}에 추가합니다.

$$\frac{11}{18}n=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{2}{3}을(를) -\frac{5}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$\frac{11}{18}n=-\frac{11}{6}$$

수식의 양쪽을 \frac{11}{18}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$n=-3$$

\frac{1}{3}m-n=5에서 n을(를) -3(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 m에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$\frac{1}{3}m-\left(-3\right)=5$$

수식의 양쪽에서 3을(를) 뺍니다.

$$\frac{1}{3}m=2$$

양쪽에 3을(를) 곱합니다.

$$m=6$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$m=6,n=-3$$