다음을 풀어보세요: {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

치환을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,10,8의 최소 공통 배수인 40(으)로 곱합니다.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

10과(와) 5을(를) 곱하여 50(을)를 구합니다.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

분배 법칙을 사용하여 50에 x-3(을)를 곱합니다.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-4과(와) 3을(를) 곱하여 -12(을)를 구합니다.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -12에 2y+1(을)를 곱합니다.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-150에서 12을(를) 빼고 -162을(를) 구합니다.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -7에 x+y+1(을)를 곱합니다.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

4에서 7을(를) 빼고 -3을(를) 구합니다.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

분배 법칙을 사용하여 5에 -3-7x-7y(을)를 곱합니다.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

양쪽에 35x을(를) 더합니다.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x과(와) 35x을(를) 결합하여 85x(을)를 구합니다.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

양쪽에 35y을(를) 더합니다.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y과(와) 35y을(를) 결합하여 11y(을)를 구합니다.

$$85x-162+11y=-15$$

양쪽에 162을(를) 더합니다.

$$85x+11y=-15+162$$

-15과(와) 162을(를) 더하여 147을(를) 구합니다.

$$85x+11y=147$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -5에 2y-7(을)를 곱합니다.

$$6x-10y+35=21$$

양쪽 모두에서 35을(를) 뺍니다.

$$6x-10y=21-35$$

21에서 35을(를) 빼고 -14을(를) 구합니다.

$$6x-10y=-14$$

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$85x+11y=147$$

수식의 양쪽에서 11y을(를) 뺍니다.

$$85x=-11y+147$$

양쪽을 85(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

\frac{1}{85}에 -11y+147을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

다른 수식 6x-10y=-14에서 \frac{-11y+147}{85}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

6에 \frac{-11y+147}{85}을(를) 곱합니다.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

-\frac{66y}{85}을(를) -10y에 추가합니다.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

수식의 양쪽에서 \frac{882}{85}을(를) 뺍니다.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

수식의 양쪽을 -\frac{916}{85}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{518}{229}$$

x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}에서 y을(를) \frac{518}{229}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{11}{85}에 \frac{518}{229}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{147}{85}을(를) -\frac{5698}{19465}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{329}{229}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

행렬을 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,10,8의 최소 공통 배수인 40(으)로 곱합니다.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

10과(와) 5을(를) 곱하여 50(을)를 구합니다.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

분배 법칙을 사용하여 50에 x-3(을)를 곱합니다.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-4과(와) 3을(를) 곱하여 -12(을)를 구합니다.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -12에 2y+1(을)를 곱합니다.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-150에서 12을(를) 빼고 -162을(를) 구합니다.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -7에 x+y+1(을)를 곱합니다.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

4에서 7을(를) 빼고 -3을(를) 구합니다.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

분배 법칙을 사용하여 5에 -3-7x-7y(을)를 곱합니다.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

양쪽에 35x을(를) 더합니다.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x과(와) 35x을(를) 결합하여 85x(을)를 구합니다.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

양쪽에 35y을(를) 더합니다.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y과(와) 35y을(를) 결합하여 11y(을)를 구합니다.

$$85x-162+11y=-15$$

양쪽에 162을(를) 더합니다.

$$85x+11y=-15+162$$

-15과(와) 162을(를) 더하여 147을(를) 구합니다.

$$85x+11y=147$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -5에 2y-7(을)를 곱합니다.

$$6x-10y+35=21$$

양쪽 모두에서 35을(를) 뺍니다.

$$6x-10y=21-35$$

21에서 35을(를) 빼고 -14을(를) 구합니다.

$$6x-10y=-14$$

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

소거를 사용한 단계

첫 번째 수식을 검토합니다. 수식의 양쪽을 4,10,8의 최소 공통 배수인 40(으)로 곱합니다.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

10과(와) 5을(를) 곱하여 50(을)를 구합니다.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

분배 법칙을 사용하여 50에 x-3(을)를 곱합니다.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-4과(와) 3을(를) 곱하여 -12(을)를 구합니다.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -12에 2y+1(을)를 곱합니다.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-150에서 12을(를) 빼고 -162을(를) 구합니다.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

분배 법칙을 사용하여 -7에 x+y+1(을)를 곱합니다.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

4에서 7을(를) 빼고 -3을(를) 구합니다.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

분배 법칙을 사용하여 5에 -3-7x-7y(을)를 곱합니다.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

양쪽에 35x을(를) 더합니다.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x과(와) 35x을(를) 결합하여 85x(을)를 구합니다.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

양쪽에 35y을(를) 더합니다.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y과(와) 35y을(를) 결합하여 11y(을)를 구합니다.

$$85x-162+11y=-15$$

양쪽에 162을(를) 더합니다.

$$85x+11y=-15+162$$

-15과(와) 162을(를) 더하여 147을(를) 구합니다.

$$85x+11y=147$$

두 번째 수식을 검토합니다. 분배 법칙을 사용하여 -5에 2y-7(을)를 곱합니다.

$$6x-10y+35=21$$

양쪽 모두에서 35을(를) 뺍니다.

$$6x-10y=21-35$$

21에서 35을(를) 빼고 -14을(를) 구합니다.

$$6x-10y=-14$$

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x 및 6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 85을(를) 곱합니다.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

단순화합니다.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 510x+66y=882에서 510x-850y=-1190을(를) 뺍니다.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

510x을(를) -510x에 추가합니다. 510x 및 -510x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$66y+850y=882+1190$$

66y을(를) 850y에 추가합니다.

$$916y=882+1190$$

882을(를) 1190에 추가합니다.

$$916y=2072$$

양쪽을 916(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{518}{229}$$

6x-10y=-14에서 y을(를) \frac{518}{229}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

-10에 \frac{518}{229}을(를) 곱합니다.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

수식의 양쪽에 \frac{5180}{229}을(를) 더합니다.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

양쪽을 6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{329}{229}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$