다음을 풀어보세요: {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

y, x에 대한 해

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 y을(를) 고립시켜 y에 대한 해를 찾습니다.

$$2y+5x=12$$

수식의 양쪽에서 5x을(를) 뺍니다.

$$2y=-5x+12$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

\frac{1}{2}에 -5x+12을(를) 곱합니다.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

다른 수식 -6y-2x=-24에서 -\frac{5x}{2}+6을(를) y(으)로 치환합니다.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

-6에 -\frac{5x}{2}+6을(를) 곱합니다.

$$15x-36-2x=-24$$

15x을(를) -2x에 추가합니다.

$$13x-36=-24$$

수식의 양쪽에 36을(를) 더합니다.

$$13x=12$$

양쪽을 13(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{12}{13}$$

y=-\frac{5}{2}x+6에서 x을(를) \frac{12}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{5}{2}에 \frac{12}{13}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

6을(를) -\frac{30}{13}에 추가합니다.

$$y=\frac{48}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 y 및 x을(를) 추출합니다.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

2y 및 -6y을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

단순화합니다.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -12y-30x=-72에서 -12y-4x=-48을(를) 뺍니다.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

-12y을(를) 12y에 추가합니다. -12y 및 12y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-30x+4x=-72+48$$

-30x을(를) 4x에 추가합니다.

$$-26x=-72+48$$

-72을(를) 48에 추가합니다.

$$-26x=-24$$

양쪽을 -26(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{12}{13}$$

-6y-2x=-24에서 x을(를) \frac{12}{13}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

-2에 \frac{12}{13}을(를) 곱합니다.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

수식의 양쪽에 \frac{24}{13}을(를) 더합니다.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$y=\frac{48}{13}$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$