다음을 풀어보세요: {c}{2x+3y=5}{x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-1$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+3y=5$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$2x=-3y+5$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{2}에 -3y+5을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

다른 수식 x+3y=6에서 \frac{-3y+5}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}+3y=6$$

-\frac{3y}{2}을(를) 3y에 추가합니다.

$$\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=6$$

수식의 양쪽에서 \frac{5}{2}을(를) 뺍니다.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

수식의 양쪽을 \frac{3}{2}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$y=\frac{7}{3}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}에서 y을(를) \frac{7}{3}(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{7}{3}+\frac{5}{2}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 -\frac{3}{2}에 \frac{7}{3}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-7+5}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{5}{2}을(를) -\frac{7}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3}&-\frac{3}{2\times 3-3}\\-\frac{1}{2\times 3-3}&\frac{2}{2\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-6\\-\frac{1}{3}\times 5+\frac{2}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+3y=5,x+3y=6$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 2x+3y=5에서 x+3y=6을(를) 뺍니다.

$$2x-x+3y-3y=5-6$$

3y을(를) -3y에 추가합니다. 3y 및 -3y이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$2x-x=5-6$$

2x을(를) -x에 추가합니다.

$$x=5-6$$

5을(를) -6에 추가합니다.

$$x=-1$$

x+3y=6에서 x을(를) -1(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 y에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-1+3y=6$$

수식의 양쪽에 1을(를) 더합니다.

$$3y=7$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=\frac{7}{3}$$