다음을 풀어보세요: {c}{2x+3y=13}{-6x+y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { - 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y에 대한 해

$$x=-1$$

$$y=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 x을(를) 고립시켜 x에 대한 해를 찾습니다.

$$2x+3y=13$$

수식의 양쪽에서 3y을(를) 뺍니다.

$$2x=-3y+13$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

\frac{1}{2}에 -3y+13을(를) 곱합니다.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

다른 수식 -6x+y=11에서 \frac{-3y+13}{2}을(를) x(으)로 치환합니다.

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

-6에 \frac{-3y+13}{2}을(를) 곱합니다.

$$9y-39+y=11$$

9y을(를) y에 추가합니다.

$$10y-39=11$$

수식의 양쪽에 39을(를) 더합니다.

$$10y=50$$

양쪽을 10(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}$$

-\frac{3}{2}에 5을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-15+13}{2}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{13}{2}을(를) -\frac{15}{2}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-6\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-3\left(-6\right)}&\frac{2}{2-3\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{3}{20}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 13-\frac{3}{20}\times 11\\\frac{3}{10}\times 13+\frac{1}{10}\times 11\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 x 및 y을(를) 추출합니다.

$$x=-1,y=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

2x 및 -6x을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -6을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 2을(를) 곱합니다.

$$-6\times 2x-6\times 3y=-6\times 13,2\left(-6\right)x+2y=2\times 11$$

단순화합니다.

$$-12x-18y=-78,-12x+2y=22$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -12x-18y=-78에서 -12x+2y=22을(를) 뺍니다.

$$-12x+12x-18y-2y=-78-22$$

-12x을(를) 12x에 추가합니다. -12x 및 12x이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$-18y-2y=-78-22$$

-18y을(를) -2y에 추가합니다.

$$-20y=-78-22$$

-78을(를) -22에 추가합니다.

$$-20y=-100$$

양쪽을 -20(으)로 나눕니다.

$$y=5$$

-6x+y=11에서 y을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 x에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$-6x+5=11$$

수식의 양쪽에서 5을(를) 뺍니다.

$$-6x=6$$

양쪽을 -6(으)로 나눕니다.

$$x=-1$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$x=-1,y=5$$