다음을 풀어보세요: {c}{-2a+2b=2}{3a-2b=2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 a + 2 b = 2 } \\ { 3 a - 2 b = 2 } \end{array} \right.$$

a, b에 대한 해

$$a=4$$

$$b=5$$

치환을 사용한 단계

대입을 사용하여 방정식 쌍의 해를 찾으려면 먼저 변수 중 하나에 대해 수식 중 하나의 해를 찾습니다. 그런 다음 해당 변수의 결과를 다른 수식에 대입합니다.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

수식 중 하나를 선택하고 등호 부호 왼쪽에서 a을(를) 고립시켜 a에 대한 해를 찾습니다.

$$-2a+2b=2$$

수식의 양쪽에서 2b을(를) 뺍니다.

$$-2a=-2b+2$$

양쪽을 -2(으)로 나눕니다.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-2b+2\right)$$

-\frac{1}{2}에 -2b+2을(를) 곱합니다.

$$a=b-1$$

다른 수식 3a-2b=2에서 b-1을(를) a(으)로 치환합니다.

$$3\left(b-1\right)-2b=2$$

3에 b-1을(를) 곱합니다.

$$3b-3-2b=2$$

3b을(를) -2b에 추가합니다.

$$b-3=2$$

수식의 양쪽에 3을(를) 더합니다.

$$b=5$$

a=b-1에서 b을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$a=5-1$$

-1을(를) 5에 추가합니다.

$$a=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=4,b=5$$

행렬을 사용한 단계

표준 형식의 방정식을 넣은 다음 행렬을 사용하여 연립 방정식의 해를 찾습니다.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

수식을 행렬 형식으로 작성합니다.

$$\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)의 역행렬로 수식 왼쪽을 곱합니다.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

행렬과 그 역행렬의 곱은 항등행렬입니다.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

등호 왼쪽의 행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 행렬 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)의 경우 역 행렬은 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)이므로 행렬형 수식을 행렬 곱하기 문제로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

행렬을 곱합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2+2\\\frac{3}{2}\times 2+2\end{matrix}\right)$$

산술 연산을 수행합니다.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

행렬 요소 a 및 b을(를) 추출합니다.

$$a=4,b=5$$

소거를 사용한 단계

소거를 통해 해를 찾으려면 변수 중 하나의 계수가 두 수식 모두에서 동일하여 하나의 수식을 다른 수식에서 빼면 변수가 상쇄되어야 합니다.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

-2a 및 3a을(를) 동일하게 만들기 위해 첫 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 3을(를) 곱하고 두 번째 수식의 양쪽에 있는 모든 항에 -2을(를) 곱합니다.

$$3\left(-2\right)a+3\times 2b=3\times 2,-2\times 3a-2\left(-2\right)b=-2\times 2$$

단순화합니다.

$$-6a+6b=6,-6a+4b=-4$$

등호 부호 양쪽에서 동류항을 빼서 -6a+6b=6에서 -6a+4b=-4을(를) 뺍니다.

$$-6a+6a+6b-4b=6+4$$

-6a을(를) 6a에 추가합니다. -6a 및 6a이(가) 상쇄되어 변수가 하나인 수식이 남으며 이 수식의 해는 구할 수 있습니다.

$$6b-4b=6+4$$

6b을(를) -4b에 추가합니다.

$$2b=6+4$$

6을(를) 4에 추가합니다.

$$2b=10$$

양쪽을 2(으)로 나눕니다.

$$b=5$$

3a-2b=2에서 b을(를) 5(으)로 치환합니다. 결과 수식에는 하나의 변수만 포함되므로 a에 대한 해를 바로 찾을 수 있습니다.

$$3a-2\times 5=2$$

-2에 5을(를) 곱합니다.

$$3a-10=2$$

수식의 양쪽에 10을(를) 더합니다.

$$3a=12$$

양쪽을 3(으)로 나눕니다.

$$a=4$$

시스템이 이제 해결되었습니다.

$$a=4,b=5$$