다음을 풀어보세요: ∫ (from 0 to 2 pi) of int_0^1rsqrt{4r^2+1}drdθ

$$\int_{ 0 }^{ 2 \pi } \int_{ 0 }^{ 1 } r \sqrt{ 4 { r }^{ 2 } +1 } d r d \theta$$

계산

$$\frac{5\pi \sqrt{5}-\pi }{6}\approx 5.3304135$$

해답 단계

먼저 부정적분을 구합니다.

$$\int \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$$

일반 적분 규칙 \int a\mathrm{d}\theta =a\theta 표를 사용 하 여 \int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r의 적분을 구합니다.

$$\int _{0}^{1}r\sqrt{4r^{2}+1}\mathrm{d}r\theta$$

단순화합니다.

$$\frac{5\sqrt{5}-1}{12}\theta$$

정적분은 적분의 상한에서 구해진 수식의 미분 계수에서 적분의 하한에서 계산된 미분 계수를 뺀 값입니다.

$$\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 2\pi -\left(\frac{5}{12}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{12}\right)\times 0$$

단순화합니다.

$$\frac{5\sqrt{5}\pi -\pi }{6}$$