다음을 풀어보세요: ∫ (from 0 to 2) of left(xleft(x-2right)^2right)^2 wrt x

$$\int_{ 0 }^{ 2 } { \left(x { \left(x-2 \right) }^{ 2 } \right) }^{ 2 } d x$$

계산

$$\frac{128}{105}\approx 1.219047619$$

해답 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-2\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\int _{0}^{2}\left(x\left(x^{2}-4x+4\right)\right)^{2}\mathrm{d}x$$

분배 법칙을 사용하여 x에 x^{2}-4x+4(을)를 곱합니다.

$$\int _{0}^{2}\left(x^{3}-4x^{2}+4x\right)^{2}\mathrm{d}x$$

x^{3}-4x^{2}+4x을(를) 제곱합니다.

$$\int _{0}^{2}x^{6}-8x^{5}+24x^{4}-32x^{3}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

먼저 부정적분을 구합니다.

$$\int x^{6}-8x^{5}+24x^{4}-32x^{3}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

항별로 총계를 적분합니다.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x+\int -8x^{5}\mathrm{d}x+\int 24x^{4}\mathrm{d}x+\int -32x^{3}\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

각 항에서 상수를 인수 분해합니다.

$$\int x^{6}\mathrm{d}x-8\int x^{5}\mathrm{d}x+24\int x^{4}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{7}}{7}으로 \int x^{6}\mathrm{d}x를 바꾸십시오.

$$\frac{x^{7}}{7}-8\int x^{5}\mathrm{d}x+24\int x^{4}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{6}}{6}으로 \int x^{5}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. -8에 \frac{x^{6}}{6}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{4x^{6}}{3}+24\int x^{4}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{5}}{5}으로 \int x^{4}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. 24에 \frac{x^{5}}{5}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{4x^{6}}{3}+\frac{24x^{5}}{5}-32\int x^{3}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{4}}{4}으로 \int x^{3}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. -32에 \frac{x^{4}}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{4x^{6}}{3}+\frac{24x^{5}}{5}-8x^{4}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{3}}{3}으로 \int x^{2}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. 16에 \frac{x^{3}}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{4x^{6}}{3}+\frac{24x^{5}}{5}-8x^{4}+\frac{16x^{3}}{3}$$

단순화합니다.

$$\frac{16x^{3}}{3}-8x^{4}+\frac{24x^{5}}{5}-\frac{4x^{6}}{3}+\frac{x^{7}}{7}$$

정적분은 적분의 상한에서 구해진 수식의 미분 계수에서 적분의 하한에서 계산된 미분 계수를 뺀 값입니다.

$$\frac{16}{3}\times 2^{3}-8\times 2^{4}+\frac{24}{5}\times 2^{5}-\frac{4}{3}\times 2^{6}+\frac{2^{7}}{7}-\left(\frac{16}{3}\times 0^{3}-8\times 0^{4}+\frac{24}{5}\times 0^{5}-\frac{4}{3}\times 0^{6}+\frac{0^{7}}{7}\right)$$

단순화합니다.

$$\frac{128}{105}$$