다음을 풀어보세요: ∫ (from 0 to 1) of (3x^3-x^2+2x-4) wrt x

$$\int_{ 0 }^{ 1 } (3 { x }^{ 3 } - { x }^{ 2 } +2x-4) d x$$

계산

$$-\frac{31}{12}\approx -2.583333333$$

해답 단계

먼저 부정적분을 구합니다.

$$\int 3x^{3}-x^{2}+2x-4\mathrm{d}x$$

항별로 총계를 적분합니다.

$$\int 3x^{3}\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

각 항에서 상수를 인수 분해합니다.

$$3\int x^{3}\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}이므로 \int x^{3}\mathrm{d}x을(를) \frac{x^{4}}{4}로 바꿉니다. 3에 \frac{x^{4}}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3x^{4}}{4}-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}이므로 \int x^{2}\mathrm{d}x을(를) \frac{x^{3}}{3}로 바꿉니다. -1에 \frac{x^{3}}{3}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int -4\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}이므로 \int x\mathrm{d}x을(를) \frac{x^{2}}{2}로 바꿉니다. 2에 \frac{x^{2}}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int -4\mathrm{d}x$$

일반 적분 규칙 \int a\mathrm{d}x=ax 표를 사용 하 여 -4의 적분을 구합니다.

$$\frac{3x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}-4x$$

정적분은 적분의 상한에서 구해진 수식의 미분 계수에서 적분의 하한에서 계산된 미분 계수를 뺀 값입니다.

$$\frac{3}{4}\times 1^{4}-\frac{1^{3}}{3}+1^{2}-4-\left(\frac{3}{4}\times 0^{4}-\frac{0^{3}}{3}+0^{2}-4\times 0\right)$$

단순화합니다.

$$-\frac{31}{12}$$