다음을 풀어보세요: ∫ (from 0 to pi) of sqrt{2x^3 wrt x

$$\int_{ 0 }^{ \pi } \sqrt{ 2 { x }^{ 3 } } d x$$

계산

$$\frac{2\sqrt{2}\pi ^{\frac{5}{2}}}{5}\approx 9.89577178$$

해답 단계

먼저 부정적분을 구합니다.

$$\int \sqrt{2x^{3}}\mathrm{d}x$$

\int af\left(x\right)\mathrm{d}x=a\int f\left(x\right)\mathrm{d}x을(를) 사용하여 상수를 인수 분해합니다.

$$\sqrt{2}\int \sqrt{x^{3}}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}이므로 \int x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x을(를) \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}로 바꿉니다.

$$\sqrt{2}\times \frac{2x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

단순화합니다.

$$\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{5}{2}}}{5}$$

정적분은 적분의 상한에서 구해진 수식의 미분 계수에서 적분의 하한에서 계산된 미분 계수를 뺀 값입니다.

$$\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\pi ^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\times 2^{\frac{1}{2}}\times 0^{\frac{5}{2}}$$

단순화합니다.

$$\frac{\left(2\pi \right)^{\frac{5}{2}}}{10}$$