다음을 풀어보세요: ∫ 2xleft(x^2+1right)^3 wrt x

$$\int{ 2x { \left( { x }^{ 2 } +1 \right) }^{ 3 } }d x$$

계산

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{2}+С$$

해답 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}을(를) \left(x^{2}+1\right)^{3}을(를) 확장합니다.

$$\int 2x\left(\left(x^{2}\right)^{3}+3\left(x^{2}\right)^{2}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 3을(를) 곱하여 6을(를) 구합니다.

$$\int 2x\left(x^{6}+3\left(x^{2}\right)^{2}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$\int 2x\left(x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1\right)\mathrm{d}x$$

분배 법칙을 사용하여 2x에 x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1(을)를 곱합니다.

$$\int 2x^{7}+6x^{5}+6x^{3}+2x\mathrm{d}x$$

항별로 총계를 적분합니다.

$$\int 2x^{7}\mathrm{d}x+\int 6x^{5}\mathrm{d}x+\int 6x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x$$

각 항에서 상수를 인수 분해합니다.

$$2\int x^{7}\mathrm{d}x+6\int x^{5}\mathrm{d}x+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}이므로 \int x^{7}\mathrm{d}x을(를) \frac{x^{8}}{8}로 바꿉니다. 2에 \frac{x^{8}}{8}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{8}}{4}+6\int x^{5}\mathrm{d}x+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}이므로 \int x^{5}\mathrm{d}x을(를) \frac{x^{6}}{6}로 바꿉니다. 6에 \frac{x^{6}}{6}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+6\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}이므로 \int x^{3}\mathrm{d}x을(를) \frac{x^{4}}{4}로 바꿉니다. 6에 \frac{x^{4}}{4}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+2\int x\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}이므로 \int x\mathrm{d}x을(를) \frac{x^{2}}{2}로 바꿉니다. 2에 \frac{x^{2}}{2}을(를) 곱합니다.

$$\frac{x^{8}}{4}+x^{6}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{2}$$

F\left(x\right) f\left(x\right)의 antiderivative 경우 f\left(x\right)의 모든 파생을 방지 하는 것이 F\left(x\right)+C에 의해 제공 됩니다. 따라서 결과에 C\in \mathrm{R}의 통합 상수를 추가 합니다.

$$x^{2}+\frac{3x^{4}}{2}+x^{6}+\frac{x^{8}}{4}+С$$

x 관련 미분

$$2x\left(x^{2}+1\right)^{3}$$