다음을 풀어보세요: ∫ (from 0 to 2) of (1+x^2)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

계산

$$\frac{206}{15}\approx 13.733333333$$

해답 단계

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(1+x^{2}\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\int _{0}^{2}1+2x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

다른 곱으로 제곱하려면 지수를 곱합니다. 2과(와) 2을(를) 곱하여 4을(를) 구합니다.

$$\int _{0}^{2}1+2x^{2}+x^{4}\mathrm{d}x$$

먼저 부정적분을 구합니다.

$$\int 1+2x^{2}+x^{4}\mathrm{d}x$$

항별로 총계를 적분합니다.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

각 항에서 상수를 인수 분해합니다.

$$\int 1\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

일반 적분 규칙 \int a\mathrm{d}x=ax 표를 사용 하 여 1의 적분을 구합니다.

$$x+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{3}}{3}으로 \int x^{2}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. 2에 \frac{x^{3}}{3}을(를) 곱합니다.

$$x+\frac{2x^{3}}{3}+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{5}}{5}으로 \int x^{4}\mathrm{d}x를 바꾸십시오.

$$x+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}$$

단순화합니다.

$$\frac{x^{5}}{5}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

정적분은 적분의 상한에서 구해진 수식의 미분 계수에서 적분의 하한에서 계산된 미분 계수를 뺀 값입니다.

$$\frac{2^{5}}{5}+\frac{2}{3}\times 2^{3}+2-\left(\frac{0^{5}}{5}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

단순화합니다.

$$\frac{206}{15}$$