다음을 풀어보세요: ∫ (from 0 to 1) of (1-4x)^2 wrt x

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 4 x ) ^ { 2 } d x$$

계산

$$\frac{7}{3}\approx 2.333333333$$

해답 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(1-4x\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$\int _{0}^{1}1-8x+16x^{2}\mathrm{d}x$$

먼저 부정적분을 구합니다.

$$\int 1-8x+16x^{2}\mathrm{d}x$$

항별로 총계를 적분합니다.

$$\int 1\mathrm{d}x+\int -8x\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

각 항에서 상수를 인수 분해합니다.

$$\int 1\mathrm{d}x-8\int x\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

일반 적분 규칙 \int a\mathrm{d}x=ax 표를 사용 하 여 1의 적분을 구합니다.

$$x-8\int x\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{2}}{2}으로 \int x\mathrm{d}x를 바꾸십시오. -8에 \frac{x^{2}}{2}을(를) 곱합니다.

$$x-4x^{2}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{3}}{3}으로 \int x^{2}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. 16에 \frac{x^{3}}{3}을(를) 곱합니다.

$$x-4x^{2}+\frac{16x^{3}}{3}$$

정적분은 적분의 상한에서 구해진 수식의 미분 계수에서 적분의 하한에서 계산된 미분 계수를 뺀 값입니다.

$$1-4\times 1^{2}+\frac{16}{3}\times 1^{3}-\left(0-4\times 0^{2}+\frac{16}{3}\times 0^{3}\right)$$

단순화합니다.

$$\frac{7}{3}$$