다음을 풀어보세요: ∫ (from - 2 to 5) of (4x-3)^3 wrt x

$$\int _ { - 2 } ^ { 5 } ( 4 x - 3 ) ^ { 3 } d x$$

계산

$$4305$$

해답 단계

이항 정리 \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}을(를) \left(4x-3\right)^{3}을(를) 확장합니다.

$$\int _{-2}^{5}64x^{3}-144x^{2}+108x-27\mathrm{d}x$$

먼저 부정적분을 구합니다.

$$\int 64x^{3}-144x^{2}+108x-27\mathrm{d}x$$

항별로 총계를 적분합니다.

$$\int 64x^{3}\mathrm{d}x+\int -144x^{2}\mathrm{d}x+\int 108x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

각 항에서 상수를 인수 분해합니다.

$$64\int x^{3}\mathrm{d}x-144\int x^{2}\mathrm{d}x+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{4}}{4}으로 \int x^{3}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. 64에 \frac{x^{4}}{4}을(를) 곱합니다.

$$16x^{4}-144\int x^{2}\mathrm{d}x+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{3}}{3}으로 \int x^{2}\mathrm{d}x를 바꾸십시오. -144에 \frac{x^{3}}{3}을(를) 곱합니다.

$$16x^{4}-48x^{3}+108\int x\mathrm{d}x+\int -27\mathrm{d}x$$

k\neq -1에 대 한 \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} 이므로 \frac{x^{2}}{2}으로 \int x\mathrm{d}x를 바꾸십시오. 108에 \frac{x^{2}}{2}을(를) 곱합니다.

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}+\int -27\mathrm{d}x$$

일반 적분 규칙 \int a\mathrm{d}x=ax 표를 사용 하 여 -27의 적분을 구합니다.

$$16x^{4}-48x^{3}+54x^{2}-27x$$

정적분은 적분의 상한에서 구해진 수식의 미분 계수에서 적분의 하한에서 계산된 미분 계수를 뺀 값입니다.

$$16\times 5^{4}-48\times 5^{3}+54\times 5^{2}-27\times 5-\left(16\left(-2\right)^{4}-48\left(-2\right)^{3}+54\left(-2\right)^{2}-27\left(-2\right)\right)$$

단순화합니다.

$$4305$$