다음을 풀어보세요: x-1/2x+1=2x+1/x-1+3

$$\frac{ x-1 }{ 2x+1 } = \frac{ 2x+1 }{ x-1 } +3$$

x에 대한 해

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}\approx 0.434258546$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}\approx -0.767591879$$

근의 공식을 사용한 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 -\frac{1}{2},1 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 2x+1,x-1의 최소 공통 배수인 \left(x-1\right)\left(2x+1\right)(으)로 곱합니다.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

x-1과(와) x-1을(를) 곱하여 \left(x-1\right)^{2}(을)를 구합니다.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

2x+1과(와) 2x+1을(를) 곱하여 \left(2x+1\right)^{2}(을)를 구합니다.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

분배 법칙을 사용하여 x-1에 2x+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

분배 법칙을 사용하여 2x^{2}-x-1에 3(을)를 곱합니다.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

4x^{2}과(와) 6x^{2}을(를) 결합하여 10x^{2}(을)를 구합니다.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

4x과(와) -3x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

1에서 3을(를) 빼고 -2을(를) 구합니다.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

양쪽 모두에서 10x^{2}을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

x^{2}과(와) -10x^{2}을(를) 결합하여 -9x^{2}(을)를 구합니다.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

-2x과(와) -x을(를) 결합하여 -3x(을)를 구합니다.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

양쪽에 2을(를) 더합니다.

$$-9x^{2}-3x+1+2=0$$

1과(와) 2을(를) 더하여 3을(를) 구합니다.

$$-9x^{2}-3x+3=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -9을(를) a로, -3을(를) b로, 3을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

-3을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-9\right)\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

-4에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+36\times 3}}{2\left(-9\right)}$$

36에 3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+108}}{2\left(-9\right)}$$

9을(를) 108에 추가합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{117}}{2\left(-9\right)}$$

117의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

-3의 반대는 3입니다.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{2\left(-9\right)}$$

2에 -9을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}을(를) 풉니다. 3을(를) 3\sqrt{13}에 추가합니다.

$$x=\frac{3\sqrt{13}+3}{-18}$$

3+3\sqrt{13}을(를) -18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{3±3\sqrt{13}}{-18}을(를) 풉니다. 3에서 3\sqrt{13}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{3-3\sqrt{13}}{-18}$$

3-3\sqrt{13}을(를) -18(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{\sqrt{13}-1}{6}$$

제곱 완성 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 -\frac{1}{2},1 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 2x+1,x-1의 최소 공통 배수인 \left(x-1\right)\left(2x+1\right)(으)로 곱합니다.

$$\left(x-1\right)\left(x-1\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

x-1과(와) x-1을(를) 곱하여 \left(x-1\right)^{2}(을)를 구합니다.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

2x+1과(와) 2x+1을(를) 곱하여 \left(2x+1\right)^{2}(을)를 구합니다.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

이항 정리 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}을(를) \left(x-1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1=\left(2x+1\right)^{2}+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

이항 정리 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}을(를) \left(2x+1\right)^{2}을(를) 확장합니다.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(x-1\right)\left(2x+1\right)\times 3$$

분배 법칙을 사용하여 x-1에 2x+1(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+\left(2x^{2}-x-1\right)\times 3$$

분배 법칙을 사용하여 2x^{2}-x-1에 3(을)를 곱합니다.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}+4x+1+6x^{2}-3x-3$$

4x^{2}과(와) 6x^{2}을(를) 결합하여 10x^{2}(을)를 구합니다.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+4x+1-3x-3$$

4x과(와) -3x을(를) 결합하여 x(을)를 구합니다.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x+1-3$$

1에서 3을(를) 빼고 -2을(를) 구합니다.

$$x^{2}-2x+1=10x^{2}+x-2$$

양쪽 모두에서 10x^{2}을(를) 뺍니다.

$$x^{2}-2x+1-10x^{2}=x-2$$

x^{2}과(와) -10x^{2}을(를) 결합하여 -9x^{2}(을)를 구합니다.

$$-9x^{2}-2x+1=x-2$$

양쪽 모두에서 x을(를) 뺍니다.

$$-9x^{2}-2x+1-x=-2$$

-2x과(와) -x을(를) 결합하여 -3x(을)를 구합니다.

$$-9x^{2}-3x+1=-2$$

양쪽 모두에서 1을(를) 뺍니다.

$$-9x^{2}-3x=-2-1$$

-2에서 1을(를) 빼고 -3을(를) 구합니다.

$$-9x^{2}-3x=-3$$

양쪽을 -9(으)로 나눕니다.

$$\frac{-9x^{2}-3x}{-9}=-\frac{3}{-9}$$

-9(으)로 나누면 -9(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-9}\right)x=-\frac{3}{-9}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-3}{-9}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=-\frac{3}{-9}$$

3을(를) 추출 및 상쇄하여 분수 \frac{-3}{-9}을(를) 기약 분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$$

x 항의 계수인 \frac{1}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{1}{6}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{1}{6}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{1}{6}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{1}{3}+\frac{1}{36}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1}{3}을(를) \frac{1}{36}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{13}{36}$$

인수 x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{13}{36}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{36}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{13}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{13}}{6}$$

수식의 양쪽에서 \frac{1}{6}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{\sqrt{13}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{13}-1}{6}$$