다음을 풀어보세요: 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

x에 대한 해

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4.215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2.45141623$$

근의 공식을 사용한 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 2,3 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 x-3,x-2의 최소 공통 배수인 \left(x-3\right)\left(x-2\right)(으)로 곱합니다.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x-2에 2(을)를 곱합니다.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x-3에 3(을)를 곱합니다.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

2x과(와) 3x을(를) 결합하여 5x(을)를 구합니다.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

-4에서 9을(를) 빼고 -13을(를) 구합니다.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 3에 x-3(을)를 곱합니다.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 3x-9에 x-2(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

양쪽 모두에서 3x^{2}을(를) 뺍니다.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

양쪽에 15x을(를) 더합니다.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

5x과(와) 15x을(를) 결합하여 20x(을)를 구합니다.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

양쪽 모두에서 18을(를) 뺍니다.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

-13에서 18을(를) 빼고 -31을(를) 구합니다.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 형식의 모든 수식은 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}를 사용하여 해답을 찾을 수 있습니다. 근의 공식은 두 가지 해답을 제공하는데, 하나는 ±가 더하기일 때고 다른 하나는 빼기일 때입니다.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -3을(를) a로, 20을(를) b로, -31을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

20을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12에 -31을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

400을(를) -372에 추가합니다.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

28의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

2에 -3을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}을(를) 풉니다. -20을(를) 2\sqrt{7}에 추가합니다.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

-20+2\sqrt{7}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}을(를) 풉니다. -20에서 2\sqrt{7}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

-20-2\sqrt{7}을(를) -6(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

제곱 완성 단계

0으로 나누기가 정의되지 않았으므로 x 변수는 값 2,3 중 하나와 같을 수 없습니다. 수식의 양쪽을 x-3,x-2의 최소 공통 배수인 \left(x-3\right)\left(x-2\right)(으)로 곱합니다.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x-2에 2(을)를 곱합니다.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 x-3에 3(을)를 곱합니다.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

2x과(와) 3x을(를) 결합하여 5x(을)를 구합니다.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

-4에서 9을(를) 빼고 -13을(를) 구합니다.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 3에 x-3(을)를 곱합니다.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

분배 법칙을 사용하여 3x-9에 x-2(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

양쪽 모두에서 3x^{2}을(를) 뺍니다.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

양쪽에 15x을(를) 더합니다.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

5x과(와) 15x을(를) 결합하여 20x(을)를 구합니다.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

양쪽에 13을(를) 더합니다.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

18과(와) 13을(를) 더하여 31을(를) 구합니다.

$$20x-3x^{2}=31$$

이와 같은 근의 공식은 제곱을 완성하여 해를 구할 수 있습니다. 제곱을 완성하려면 먼저 수식이 x^{2}+bx=c 형식이어야 합니다.

$$-3x^{2}+20x=31$$

양쪽을 -3(으)로 나눕니다.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

-3(으)로 나누면 -3(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

20을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

31을(를) -3(으)로 나눕니다.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

x 항의 계수인 -\frac{20}{3}을(를) 2(으)로 나눠서 -\frac{10}{3}을(를) 구합니다. 그런 다음 -\frac{10}{3}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{10}{3}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{31}{3}을(를) \frac{100}{9}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

인수 x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

단순화합니다.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

수식의 양쪽에 \frac{10}{3}을(를) 더합니다.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$