다음을 풀어보세요: 1/6(4x+5)-2/3(2x+7)=3

$$\frac{ 1 }{ 6 } (4x+5) \frac{ -2 }{ 3 } (2x+7)=3$$

x에 대한 해 (complex solution)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}\approx -2.375+1.452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}\approx -2.375-1.452368755i$$

근의 공식을 사용한 단계

분수 \frac{-2}{3}은(는) 음수 부호의 근을 구하여 -\frac{2}{3}(으)로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

\frac{1}{6}과(와) -\frac{2}{3}을(를) 곱하여 -\frac{1}{9}(을)를 구합니다.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

분배 법칙을 사용하여 -\frac{1}{9}에 4x+5(을)를 곱합니다.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

분배 법칙을 사용하여 -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}에 2x+7(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

양쪽 모두에서 3을(를) 뺍니다.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-3=0$$

-\frac{35}{9}에서 3을(를) 빼고 -\frac{62}{9}을(를) 구합니다.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{62}{9}=0$$

이 수식은 표준 형식 ax^{2}+bx+c=0입니다. 근의 공식 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}에서 -\frac{8}{9}을(를) a로, -\frac{38}{9}을(를) b로, -\frac{62}{9}을(를) c로 치환합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 -\frac{38}{9}을(를) 제곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

-4에 -\frac{8}{9}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{62}{9}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

분자는 분자끼리 분모는 분모끼리 곱하여 \frac{32}{9}에 -\frac{62}{9}을(를) 곱합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1984}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 \frac{1444}{81}을(를) -\frac{1984}{81}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{20}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

-\frac{20}{3}의 제곱근을 구합니다.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

-\frac{38}{9}의 반대는 \frac{38}{9}입니다.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

2에 -\frac{8}{9}을(를) 곱합니다.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

±이(가) 플러스일 때 수식 x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}을(를) 풉니다. \frac{38}{9}을(를) \frac{2i\sqrt{15}}{3}에 추가합니다.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

\frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3}에 -\frac{16}{9}의 역수를 곱하여 \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{15}}{3}을(를) -\frac{16}{9}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$

±이(가) 마이너스일 때 수식 x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{15}i}{3}}{-\frac{16}{9}}을(를) 풉니다. \frac{38}{9}에서 \frac{2i\sqrt{15}}{3}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{15}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

\frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3}에 -\frac{16}{9}의 역수를 곱하여 \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{15}}{3}을(를) -\frac{16}{9}(으)로 나눕니다.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

수식이 이제 해결되었습니다.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8}$$

제곱 완성 단계

분수 \frac{-2}{3}은(는) 음수 부호의 근을 구하여 -\frac{2}{3}(으)로 다시 작성할 수 있습니다.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=3$$

\frac{1}{6}과(와) -\frac{2}{3}을(를) 곱하여 -\frac{1}{9}(을)를 구합니다.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=3$$

분배 법칙을 사용하여 -\frac{1}{9}에 4x+5(을)를 곱합니다.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=3$$

분배 법칙을 사용하여 -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}에 2x+7(을)를 곱하고 동류항을 결합합니다.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=3$$

양쪽에 \frac{35}{9}을(를) 더합니다.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=3+\frac{35}{9}$$

3과(와) \frac{35}{9}을(를) 더하여 \frac{62}{9}을(를) 구합니다.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{62}{9}$$

수식의 양쪽을 -\frac{8}{9}(으)로 나눕니다. 이는 양쪽에 분수의 역수를 곱하는 것과 같습니다.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

-\frac{8}{9}(으)로 나누면 -\frac{8}{9}(으)로 곱하기가 원상태로 돌아갑니다.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

-\frac{38}{9}에 -\frac{8}{9}의 역수를 곱하여 -\frac{38}{9}을(를) -\frac{8}{9}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{62}{9}}{-\frac{8}{9}}$$

\frac{62}{9}에 -\frac{8}{9}의 역수를 곱하여 \frac{62}{9}을(를) -\frac{8}{9}(으)로 나눕니다.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{31}{4}$$

x 항의 계수인 \frac{19}{4}을(를) 2(으)로 나눠서 \frac{19}{8}을(를) 구합니다. 그런 다음 \frac{19}{8}의 제곱을 수식의 양쪽에 더합니다. 이 단계를 수행하면 수식의 왼쪽이 완전 제곱이 됩니다.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{31}{4}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

분수의 분자와 분모를 모두 제곱하여 \frac{19}{8}을(를) 제곱합니다.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{31}{4}+\frac{361}{64}$$

공통분모를 찾고 분자를 더하여 -\frac{31}{4}을(를) \frac{361}{64}에 더합니다. 그런 다음 가능한 경우 분수를 기약분수로 약분합니다.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{135}{64}$$

인수 x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}. 일반적으로 x^{2}+bx+c 완벽한 제곱인 경우 항상 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 인수로 지정할 수 있습니다.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

수식 양쪽의 제곱근을 구합니다.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

단순화합니다.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

수식의 양쪽에서 \frac{19}{8}을(를) 뺍니다.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i-19}{8}$$